Упр.314 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)
$$y=-x^3+4x^2-3$$
Найдём производные:
$$y’=-3x^2+8x=x(8-3x)$$
$$y»=8-6x$$
Критические точки:
$$x(8-3x)=0 \Rightarrow x=0,\; x=\frac{8}{3}$$
Точка перегиба:
$$8-6x=0 \Rightarrow x=\frac{4}{3}$$
Значения функции в характерных точках:
$$y(0)=-3$$
$$y\!\left(\frac{8}{3}\right)=-\frac{512}{27}+\frac{256}{9}-3=\frac{175}{27}$$
$$y\!\left(\frac{4}{3}\right)=-\frac{64}{27}+\frac{64}{9}-3=\frac{47}{27}$$
Следовательно, функция возрастает на $$\left[0,\frac{8}{3}\right]$$, убывает на $$(-\infty,0]$$ и $$\left[\frac{8}{3},+\infty\right)$$. Выпукла вниз при $$x\le \frac{4}{3}$$, выпукла вверх при $$x\ge \frac{4}{3}$$.
$$y=x^3-3x^2-x+3$$
Найдём производные:
$$y’=3x^2-6x-1$$
$$y»=6x-6$$
Критические точки:
$$3x^2-6x-1=0$$
$$D=36+12=48$$
$$x=\frac{6\pm\sqrt{48}}{6}=1\pm\frac{2}{\sqrt{3}}$$
Точка перегиба:
$$6x-6=0 \Rightarrow x=1$$
Значения функции в характерных точках:
$$y(-1)=0$$
$$y\!\left(1-\frac{2}{\sqrt{3}}\right)=\frac{16\sqrt{3}}{9}$$
$$y(1)=0$$
$$y\!\left(1+\frac{2}{\sqrt{3}}\right)=-\frac{16\sqrt{3}}{9}$$
$$y(3)=0$$
Следовательно, функция возрастает на $$\left(-\infty,1-\frac{2}{\sqrt{3}}\right]$$ и $$\left[1+\frac{2}{\sqrt{3}},+\infty\right)$$, убывает на $$\left[1-\frac{2}{\sqrt{3}},1+\frac{2}{\sqrt{3}}\right]$$. Выпукла вниз при $$x\le 1$$, выпукла вверх при $$x\ge 1$$.
Ответ
1) $$y=-x^3+4x^2-3$$: возрастает на $$\left[0,\frac{8}{3}\right]$$, убывает на $$(-\infty,0]$$ и $$\left[\frac{8}{3},+\infty\right)$$; выпукла вниз при $$x\le \frac{4}{3}$$, выпукла вверх при $$x\ge \frac{4}{3}$$.
2) $$y=x^3-3x^2-x+3$$: возрастает на $$\left(-\infty,1-\frac{2}{\sqrt{3}}\right]$$ и $$\left[1+\frac{2}{\sqrt{3}},+\infty\right)$$, убывает на $$\left[1-\frac{2}{\sqrt{3}},1+\frac{2}{\sqrt{3}}\right]$$; выпукла вниз при $$x\le 1$$, выпукла вверх при $$x\ge 1$$.
