Упр.313 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)
- $$y=3x+\frac{1}{3x}$$
- $$y=x-\frac{9}{x}$$
- $$y=\frac{4}{x}-x$$
- $$y=x-\frac{1}{\sqrt{x}}$$
$$y=3x+\frac{1}{3x}$$
$$y’ = 3-\frac{1}{3x^2}=\frac{9x^2-1}{3x^2}$$
$$y»=\frac{2}{3x^3}$$
Область определения: $$x\ne 0$$.
Функция нечётная, так как
$$y(-x)=3(-x)+\frac{1}{3(-x)}=-y(x).$$
Найдём асимптоты:
$$\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to\infty}\left(3+\frac{1}{3x^2}\right)=3,$$
значит, наклонная асимптота: $$y=3x.$$
При $$x\to 0$$ функция неограниченно возрастает по модулю, поэтому вертикальная асимптота: $$x=0.$$
Критические точки:
$$9x^2-1=0 \;\Rightarrow\; x=\pm \frac13.$$
Знаки производной:
$$y’>0 \text{ при } x\le -\frac13 \text{ и } x\ge \frac13,\qquad y'<0 \text{ при } -\frac13<x<\frac13,\ x\ne 0.$$
Следовательно, функция возрастает на $$(-\infty,-\frac13]$$ и $$[\frac13,\infty)$$, убывает на $$[-\frac13,0)$$ и $$(0,\frac13].$$
Выпуклость:
$$y»=\frac{2}{3x^3}$$
поэтому функция выпукла вниз при $$x<0$$ и выпукла вверх при $$x>0.$$
Точка для построения: $$y\!\left(\frac13\right)=1+1=2.$$
$$y=x-\frac{9}{x}$$
$$y’ = 1+\frac{9}{x^2}=\frac{x^2+9}{x^2}>0$$
$$y»=-\frac{18}{x^3}$$
Область определения: $$x\ne 0$$.
Функция нечётная, так как
$$y(-x)=(-x)-\frac{9}{-x}=-y(x).$$
Так как $$y’>0$$ при всех $$x\ne 0$$, функция возрастает на $$( -\infty,0)$$ и $$(0,\infty).$$
Выпуклость:
$$y»=-\frac{18}{x^3}$$
поэтому функция выпукла вниз при $$x>0$$ и выпукла вверх при $$x<0.$$
Асимптоты:
$$\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to\infty}\left(1-\frac{9}{x^2}\right)=1,$$
значит, наклонная асимптота: $$y=x.$$
Вертикальная асимптота: $$x=0.$$
Точки для построения: $$y(1)=-8,\ y(3)=0,\ y(5)=3{,}2.$$
$$y=\frac{4}{x}-x$$
$$y’=-\frac{4}{x^2}-1=\frac{-4-x^2}{x^2}<0$$
$$y»=\frac{8}{x^3}$$
Область определения: $$x\ne 0$$.
Функция нечётная, так как
$$y(-x)=\frac{4}{-x}-(-x)=-y(x).$$
Так как $$y'<0$$ при всех $$x\ne 0$$, функция убывает на $$( -\infty,0)$$ и $$(0,\infty).$$
Выпуклость:
$$y»=\frac{8}{x^3}$$
поэтому функция выпукла вниз при $$x<0$$ и выпукла вверх при $$x>0.$$
Асимптоты:
$$\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to\infty}\left(\frac{4}{x^2}-1\right)=-1,$$
значит, наклонная асимптота: $$y=-x.$$
Вертикальная асимптота: $$x=0.$$
Точки для построения: $$y(1)=3,\ y(2)=0,\ y(4)=-3.$$
$$y=x-\frac{1}{\sqrt{x}}$$
$$y’ = 1+\frac{1}{2x^{3/2}}=\frac{2x^{3/2}+1}{2x^{3/2}}>0$$
$$y»=-\frac{3}{4x^{5/2}}<0$$
Область определения: $$x>0$$.
Функция возрастает на $$(0,\infty)$$.
Так как $$y»<0$$ при $$x>0$$, функция выпукла вниз на $$(0,\infty).$$
Асимптоты:
$$\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to\infty}\left(1-\frac{1}{x\sqrt{x}}\right)=1,$$
значит, наклонная асимптота: $$y=x.$$
Вертикальная асимптота: $$x=0.$$
Точка для построения: $$y(1)=1-1=0.$$
Ответ
1) $$D(y): x\ne 0$$, асимптоты $$x=0,\ y=3x$$; функция нечётная, возрастает на $$(-\infty,-\frac13]$$ и $$[\frac13,\infty)$$, убывает на $$[-\frac13,0)$$ и $$(0,\frac13]$$.
2) $$D(y): x\ne 0$$, асимптоты $$x=0,\ y=x$$; функция нечётная, возрастает на $$( -\infty,0)$$ и $$(0,\infty).$$
3) $$D(y): x\ne 0$$, асимптоты $$x=0,\ y=-x$$; функция нечётная, убывает на $$( -\infty,0)$$ и $$(0,\infty).$$
4) $$D(y): x>0$$, асимптоты $$x=0,\ y=x$$; функция возрастает на $$(0,\infty).$$
