Упр.312 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Задача

Построить график функции:

1) $$y=2+5x^3-3x^5$$;

2) $$y=3x^5-5x^3$$;

3) $$y=4x^5-5x^4$$;

4) $$y=(x-1)^3(x+1)^2$$.

Подробный ответ

$$y=2+5x^3-3x^5$$
$$y’ = 15x^2-15x^4 = 15x^2(1-x^2) = 15x^2(1-x)(1+x)$$
$$y» = 30x-60x^3 = 30x(1-2x^2)$$
Критические точки:
$$15x^2(1-x^2)=0 \Rightarrow x=-1,\;0,\;1$$
Точки перегиба:
$$30x(1-2x^2)=0 \Rightarrow x=0,\;\pm \frac{1}{\sqrt2}$$
Некоторые точки графика:
$$y(-1)=0,\quad y(0)=2,\quad y(1)=4,\quad y\!\left(\frac{2+\sqrt[3]{10}}{3}\right)=0$$
$$y=3x^5-5x^3$$
$$y’ = 15x^4-15x^2 = 15x^2(x^2-1)=15x^2(x-1)(x+1)$$
$$y» = 60x^3-30x = 30x(2x^2-1)$$
Функция нечётная:
$$y(-x)=3(-x)^5-5(-x)^3=-3x^5+5x^3=-y(x)$$
Критические точки:
$$15x^2(x^2-1)=0 \Rightarrow x=-1,\;0,\;1$$
Точки перегиба:
$$30x(2x^2-1)=0 \Rightarrow x=0,\;\pm \frac{1}{\sqrt2}$$
Некоторые точки графика:
$$y(0)=0,\quad y(1)=-2,\quad y\!\left(\frac{\sqrt5}{\sqrt3}\right)=0$$
$$y=4x^5-5x^4$$
$$y’ = 20x^4-20x^3 = 20x^3(x-1)$$
$$y» = 80x^3-60x^2 = 20x^2(4x-3)$$
Критические точки:
$$20x^3(x-1)=0 \Rightarrow x=0,\;1$$
Точки перегиба:
$$20x^2(4x-3)=0 \Rightarrow x=0,\;\frac34$$
Некоторые точки графика:
$$y(-1)=-9,\quad y(0)=0,\quad y(1)=-1,\quad y(1{,}25)=0$$
$$y=(x-1)^3(x+1)^2$$
$$y’ = 3(x-1)^2(x+1)^2 + 2(x-1)^3(x+1)$$
$$y’ = (x-1)^2(x+1)(5x+1)$$
$$y» = 2(x-1)(5x^2+6x+1) + (x-1)^2(10x+6)$$
$$y» = (x-1)(20x^2+8x-4)$$
Критические точки:
$$(x-1)^2(x+1)(5x+1)=0 \Rightarrow x=-1,\;-\frac15,\;1$$
Точки перегиба:
$$(x-1)(20x^2+8x-4)=0 \Rightarrow x=1,\;\frac{-1-\sqrt6}{5},\;\frac{-1+\sqrt6}{5}$$
Некоторые точки графика:
$$y(-1)=0,\quad y\!\left(-\frac15\right)=-\frac{3456}{3125},\quad y(0)=-1,\quad y(1)=0$$