Упр.311 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1. Найти асимптоты графика функции: 1) $$f(x)=\frac{(x+3)^3}{(x-1)^2}$$; 2) $$f(x)=\sqrt{x^2+4x+3}$$.

1) $$f(x)=\dfrac{(x+3)^3}{(x-1)^2}$$

Вертикальная асимптота возможна при $$x-1=0$$, то есть при $$x=1$$. Так как числитель при этом не обращается в нуль, то

$$x=1$$

— вертикальная асимптота.

Найдём наклонную асимптоту $$y=kx+b$$:

$$k=\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x} =\lim_{x\to\infty}\frac{(x+3)^3}{x(x-1)^2} =\lim_{x\to\infty}\frac{x^3+9x^2+27x+27}{x^3-2x^2+x}=1.$$

Теперь найдём $$b$$:

$$b=\lim_{x\to\infty}\bigl(f(x)-kx\bigr) =\lim_{x\to\infty}\left(\frac{(x+3)^3}{(x-1)^2}-x\right)$$

$$=\lim_{x\to\infty}\frac{x^3+9x^2+27x+27-x(x^2-2x+1)}{x^2-2x+1} =\lim_{x\to\infty}\frac{11x^2+26x+27}{x^2-2x+1}=11.$$

Значит, наклонная асимптота:

$$y=x+11.$$

2) $$f(x)=\sqrt{x^2+4x+3}$$

Область определения:

$$x^2+4x+3\ge 0,$$

$$(x+1)(x+3)\ge 0 \;\Rightarrow\; x\in(-\infty,-3]\cup[-1,+\infty).$$

Вертикальных асимптот нет, так как при $$x=-3$$ и $$x=-1$$ функция определена и конечна.

Найдём наклонные асимптоты при $$x\to+\infty$$ и $$x\to-\infty$$.

При $$x\to+\infty$$:

$$k=\lim_{x\to+\infty}\frac{\sqrt{x^2+4x+3}}{x} =\lim_{x\to+\infty}\sqrt{1+\frac{4}{x}+\frac{3}{x^2}}=1.$$

Тогда

$$b=\lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x^2+4x+3}-x\right) =\lim_{x\to+\infty}\frac{4x+3}{\sqrt{x^2+4x+3}+x}=2.$$

Следовательно, при $$x\to+\infty$$ асимптота:

$$y=x+2.$$

При $$x\to-\infty$$:

$$k=\lim_{x\to-\infty}\frac{\sqrt{x^2+4x+3}}{x} =\lim_{x\to-\infty}\frac{|x|}{x}\sqrt{1+\frac{4}{x}+\frac{3}{x^2}}=-1.$$

Тогда

$$b=\lim_{x\to-\infty}\left(\sqrt{x^2+4x+3}+x\right) =\lim_{x\to-\infty}\frac{4x+3}{\sqrt{x^2+4x+3}-x}=-2.$$

Следовательно, при $$x\to-\infty$$ асимптота:

$$y=-x-2.$$

Ответ

1) $$x=1,$$ $$y=x+11.$$

2) $$y=x+2,$$ $$y=-x-2.$$