Упр.310 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Задача

1) f(x) = x+1/x;
2) f(x) = x2/x+4;
3) f(x) = x2-2x+3/x+2;
4) f(x) = x3/(x+3)2.

Подробный ответ

$$f(x)=\frac{x+1}{x}=1+\frac{1}{x}.$$
При $$x=0$$ функция не определена, значит, вертикальная асимптота:
$$x=0.$$
При $$x\to\pm\infty$$ имеем $$\frac{1}{x}\to 0$$, поэтому
$$y=1$$ — горизонтальная асимптота.
$$f(x)=\frac{x^2}{x+4}.$$
Вертикальная асимптота получается при обращении знаменателя в нуль:
$$x+4=0 \Rightarrow x=-4.$$
Найдём наклонную асимптоту в виде $$y=kx+b$$:
$$ k=\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x} =\lim_{x\to\infty}\frac{x}{x+4} =1, $$
$$ b=\lim_{x\to\infty}\bigl(f(x)-kx\bigr) =\lim_{x\to\infty}\left(\frac{x^2}{x+4}-x\right) =\lim_{x\to\infty}\frac{-4x}{x+4} =-4. $$
Следовательно, наклонная асимптота:
$$y=x-4.$$
$$f(x)=\frac{x^2-2x+3}{x+2}.$$
Вертикальная асимптота:
$$x+2=0 \Rightarrow x=-2.$$
Найдём наклонную асимптоту $$y=kx+b$$:
$$ k=\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x} =\lim_{x\to\infty}\frac{x^2-2x+3}{x^2+2x} =1, $$
$$ b=\lim_{x\to\infty}\left(\frac{x^2-2x+3}{x+2}-x\right) =\lim_{x\to\infty}\frac{-4x+3}{x+2} =-4. $$
Значит, наклонная асимптота:
$$y=x-4.$$
$$f(x)=\frac{x^3}{(x+3)^2}.$$
Вертикальная асимптота:
$$x+3=0 \Rightarrow x=-3.$$
Найдём наклонную асимптоту $$y=kx+b$$:
$$ k=\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x} =\lim_{x\to\infty}\frac{x^2}{(x+3)^2} =1, $$
$$ b=\lim_{x\to\infty}\left(\frac{x^3}{(x+3)^2}-x\right) =\lim_{x\to\infty}\frac{x^3-x(x+3)^2}{(x+3)^2} =\lim_{x\to\infty}\frac{-6x^2-9x}{(x+3)^2} =-6. $$
Следовательно, наклонная асимптота:
$$y=x-6.$$