Упр.308 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)
- Построить график функции:
1) $$y=x^3-3x^2+4$$;
2) $$y=2+3x-x^3$$;
3) $$y=-x^3+4x^2-4x$$;
4) $$y=x^3+6x^2+9x$$.
1) $$y=x^3-3x^2+4$$
$$y’=3x^2-6x=3x(x-2)$$
$$y»=6x-6$$
Найдём точки экстремума:
$$3x(x-2)=0 \Rightarrow x=0,\; x=2$$
$$y(0)=4,\qquad y(2)=8-12+4=0$$
Промежутки монотонности:
$$y’>0 \text{ при } x<0 \text{ и } x>2,\qquad y'<0 \text{ при } 0<x<2$$
Значит, функция возрастает на $$(-\infty;0]$$ и $$[2;+\infty)$$, убывает на $$[0;2]$$.
Выпуклость:
$$y»=6x-6$$
$$6x-6=0 \Rightarrow x=1$$
При $$x<1$$ имеем $$y»<0$$, при $$x>1$$ — $$y»>0$$. Точка перегиба: $$\left(1;2\right)$$.
Для построения отметим точки: $$(-1;0),\ (0;4),\ (1;2),\ (2;0),\ (3;4)$$.
2) $$y=2+3x-x^3$$
$$y’=3-3x^2=3(1-x^2)=3(1-x)(1+x)$$
$$y»=-6x$$
Найдём точки экстремума:
$$3-3x^2=0 \Rightarrow x=\pm1$$
$$y(-1)=2-3+1=0,\qquad y(1)=2+3-1=4$$
Промежутки монотонности:
$$y’>0 \text{ при } -1<x<1,\qquad y'<0 \text{ при } x<-1 \text{ и } x>1$$
Значит, функция возрастает на $$[-1;1]$$, убывает на $$(-\infty;-1]$$ и $$[1;+\infty)$$.
Выпуклость:
$$y»=-6x$$
$$-6x=0 \Rightarrow x=0$$
При $$x<0$$ имеем $$y»>0$$, при $$x>0$$ — $$y»<0$$. Точка перегиба: $$\left(0;2\right)$$.
Для построения отметим точки: $$(-2;4),\ (-1;0),\ (0;2),\ (1;4),\ (2;0)$$.
3) $$y=-x^3+4x^2-4x$$
$$y’=-3x^2+8x-4$$
$$y»=-6x+8$$
Найдём точки экстремума:
$$-3x^2+8x-4=0 \Rightarrow 3x^2-8x+4=0$$
$$D=64-48=16$$
$$x_1=\frac{8-4}{6}=\frac23,\qquad x_2=\frac{8+4}{6}=2$$
Следовательно,
$$\left(x-\frac23\right)(x-2)\le 0 \Rightarrow \frac23\le x\le 2$$
Промежутки монотонности:
$$y’>0 \text{ при } \frac23<x<2,\qquad y'<0 \text{ при } x<\frac23 \text{ и } x>2$$
Значит, функция возрастает на $$\left[\frac23;2\right]$$, убывает на $$(-\infty;\frac23]$$ и $$[2;+\infty)$$.
Выпуклость:
$$-6x+8=0 \Rightarrow x=\frac43$$
При $$x<\frac43$$ имеем $$y»>0$$, при $$x>\frac43$$ — $$y»<0$$. Точка перегиба: $$\left(\frac43;\frac{32}{27}\right)$$.
Для построения отметим точки: $$(-1;9),\ (0;0),\ (1;-1),\ (2;0),\ (3;-3)$$.
4) $$y=x^3+6x^2+9x$$
$$y’=3x^2+12x+9=3(x^2+4x+3)=3(x+1)(x+3)$$
$$y»=6x+12$$
Найдём точки экстремума:
$$3(x+1)(x+3)=0 \Rightarrow x=-3,\; x=-1$$
$$y(-3)=-27+54-27=0,\qquad y(-1)=-1+6-9=-4$$
Промежутки монотонности:
$$y’>0 \text{ при } x<-3 \text{ и } x>-1,\qquad y'<0 \text{ при } -3<x<-1$$
Значит, функция возрастает на $$(-\infty;-3]$$ и $$[-1;+\infty)$$, убывает на $$[-3;-1]$$.
Выпуклость:
$$6x+12=0 \Rightarrow x=-2$$
При $$x<-2$$ имеем $$y»<0$$, при $$x>-2$$ — $$y»>0$$. Точка перегиба: $$(-2;-2)$$.
Для построения отметим точки: $$(-4;-4),\ (-3;0),\ (-2;-2),\ (-1;-4),\ (0;0)$$.
Ответ
1) Возрастает на $$(-\infty;0]$$ и $$[2;+\infty)$$, убывает на $$[0;2]$$; точки: $$\left(0;4\right)$$, $$\left(2;0\right)$$, перегиб $$\left(1;2\right)$$.
2) Возрастает на $$[-1;1]$$, убывает на $$(-\infty;-1]$$ и $$[1;+\infty)$$; точки: $$\left(-1;0\right)$$, $$\left(1;4\right)$$, перегиб $$\left(0;2\right)$$.
3) Возрастает на $$\left[\frac23;2\right]$$, убывает на $$(-\infty;\frac23]$$ и $$[2;+\infty)$$; точки: $$\left(\frac23;\frac{16}{27}\right)$$, $$\left(2;0\right)$$, перегиб $$\left(\frac43;\frac{32}{27}\right)$$.
4) Возрастает на $$(-\infty;-3]$$ и $$[-1;+\infty)$$, убывает на $$[-3;-1]$$; точки: $$\left(-3;0\right)$$, $$\left(-1;-4\right)$$, перегиб $$(-2;-2)$$.
