Упр.307 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1) f(x) = 12х3 — 24х2 + х + 5;
2) f(x) = х4 — 12х3 + 48х2 + 3;
3) f(x) = х3e-4x;
4) f(х) = х2lnх.

1. $$f(x)=12x^3-24x^2+x+5$$

   $$f'(x)=36x^2-48x+1$$

   $$f»(x)=72x-48$$

   Найдём точки, в которых $$f»(x)=0$$:

   $$72x-48=0$$

   $$72x=48$$

   $$x=\frac{2}{3}$$

   Знак второй производной при переходе через эту точку меняется, значит это точка перегиба.

2. $$f(x)=x^4-12x^3+48x^2+3$$

   $$f'(x)=4x^3-36x^2+96x$$

   $$f»(x)=12x^2-72x+96$$

   Решим уравнение $$f»(x)=0$$:

   $$12x^2-72x+96=0$$

   $$x^2-6x+8=0$$

   $$x_1=2,\quad x_2=4$$

   В этих точках вторая производная меняет знак, значит это точки перегиба.

3. $$f(x)=x^3e^{-4x}$$

   $$f'(x)=3x^2e^{-4x}-4x^3e^{-4x}=e^{-4x}(3x^2-4x^3)$$

   $$f»(x)=e^{-4x}(6x-12x^2)-4e^{-4x}(3x^2-4x^3)$$

   $$f»(x)=e^{-4x}(16x^3-24x^2+6x)$$

   Так как $$e^{-4x}>0$$ при всех $$x$$, решаем:

   $$16x^3-24x^2+6x=0$$

   $$2x(8x^2-12x+3)=0$$

   $$x=0$$

   $$8x^2-12x+3=0$$

   $$D=144-96=48$$

   $$x=\frac{12\pm\sqrt{48}}{16}=\frac{12\pm4\sqrt3}{16}=\frac{3\pm\sqrt3}{4}$$

   Это точки перегиба.

4. $$f(x)=x^2\ln x$$, $$x>0$$

   $$f'(x)=2x\ln x+x$$

   $$f»(x)=2\ln x+3$$

   Найдём точку перегиба:

   $$2\ln x+3=0$$

   $$\ln x=-\frac{3}{2}$$

   $$x=e^{-3/2}$$

Ответ

1) $$x=\frac{2}{3}$$; 2) $$x=2,\ 4$$; 3) $$x=0,\ \frac{3-\sqrt3}{4},\ \frac{3+\sqrt3}{4}$$; 4) $$x=e^{-3/2}$$.