Упр.306 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1. Найти интервалы выпуклости вверх и интервалы выпуклости вниз функции: 1) $$f(x)=(x^2-3x+2)e^x$$; 2) $$f(x)=x^8-6x\ln x$$.

1. $$f(x)=(x^2-3x+2)e^x$$

   Найдём производные:

   $$f'(x)=(2x-3)e^x+(x^2-3x+2)e^x=e^x(x^2-x-1)$$

   $$f»(x)=e^x(x^2-x-1)+e^x(2x-1)=e^x(x^2+x-2)$$

   Так как $$e^x>0$$ при любых $$x$$, знак $$f»(x)$$ определяется выражением $$x^2+x-2$$.

   Решим неравенство:

   $$x^2+x-2>0$$

   $$x^2+x-2=(x+2)(x-1)$$

   $$(x+2)(x-1)>0$$

   Отсюда $$x<-2$$ или $$x>1$$, значит функция выпукла вниз на этих промежутках, а выпукла вверх между корнями.

2. $$f(x)=x^3-6x\ln x$$

   Область определения: $$x>0$$.

   Найдём производные:

   $$f'(x)=3x^2-6\ln x-6$$

   $$f»(x)=6x-\frac{6}{x}=\frac{6x^2-6}{x}=\frac{6(x-1)(x+1)}{x}$$

   При $$x>0$$ знак $$f»(x)$$ определяется числителем $$6(x-1)(x+1)$$, а так как $$x+1>0$$, то достаточно рассмотреть знак $$x-1$$.

   Следовательно, при $$0<x<1$$ имеем $$f»(x)<0$$, а при $$x>1$$ имеем $$f»(x)>0$$.

Ответ

1) Функция выпукла вверх на $$[-2;1]$$, выпукла вниз на $$(-\infty;-2]\cup[1;+\infty)$$.

2) Функция выпукла вверх на $$(0;1]$$, выпукла вниз на $$[1;+\infty)$$.