Упр.305 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)
1) f(X) = cosx, -пи < х < пи; 2) f(х) = х5 - 80х2; 3) f(x) = х3 - 2х2 + х; 4) f(x) = sin х — 1/4 sin2x, - пи < х < пи.
$$f(x)=\cos x,\quad -\pi<x<\pi$$
$$f'(x)=-\sin x,\qquad f»(x)=-\cos x$$
Точки перегиба находятся из уравнения
$$-\cos x=0 \;\Longleftrightarrow\; \cos x=0$$
$$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
На промежутке $$(-\pi;\pi)$$ получаем:
$$x=-\frac{\pi}{2},\ \frac{\pi}{2}$$
$$f(x)=x^5-80x^2$$
$$f'(x)=5x^4-160x$$
$$f»(x)=20x^3-160$$
Точки перегиба:
$$20x^3-160=0$$
$$20x^3=160$$
$$x^3=8$$
$$x=2$$
$$f(x)=x^3-2x^2+x$$
$$f'(x)=3x^2-4x+1$$
$$f»(x)=6x-4$$
Точки перегиба:
$$6x-4=0$$
$$6x=4$$
$$x=\frac{2}{3}$$
$$f(x)=\sin x-\frac14\sin 2x,\quad -\pi<x<\pi$$
$$f'(x)=\cos x-\frac12\cos 2x$$
$$f»(x)=-\sin x+\sin 2x$$
Точки перегиба:
$$\sin 2x-\sin x=0$$
$$2\sin x\cos x-\sin x=0$$
$$\sin x(2\cos x-1)=0$$
Отсюда
$$\sin x=0 \quad \text{или} \quad \cos x=\frac12$$
На промежутке $$(-\pi;\pi)$$ получаем:
$$x=0,\quad x=-\frac{\pi}{3},\quad x=\frac{\pi}{3}$$
Ответ
1) $$-\frac{\pi}{2},\ \frac{\pi}{2}$$; 2) $$2$$; 3) $$\frac{2}{3}$$; 4) $$-\frac{\pi}{3},\ 0,\ \frac{\pi}{3}$$.
