Упр.305 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1. Найти точки перегиба функции:
   1) $$f(x)=\cos x,\ -\pi

1. $$f(x)=\cos x,\quad -\pi<x<\pi$$

   $$f'(x)=-\sin x,\qquad f»(x)=-\cos x$$

   Точки перегиба находятся из уравнения

   $$-\cos x=0 \;\Longleftrightarrow\; \cos x=0$$

   $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

   На промежутке $$(-\pi;\pi)$$ получаем:

   $$x=-\frac{\pi}{2},\ \frac{\pi}{2}$$

2. $$f(x)=x^5-80x^2$$

   $$f'(x)=5x^4-160x$$

   $$f»(x)=20x^3-160$$

   Точки перегиба:

   $$20x^3-160=0$$

   $$20x^3=160$$

   $$x^3=8$$

   $$x=2$$

3. $$f(x)=x^3-2x^2+x$$

   $$f'(x)=3x^2-4x+1$$

   $$f»(x)=6x-4$$

   Точки перегиба:

   $$6x-4=0$$

   $$6x=4$$

   $$x=\frac{2}{3}$$

4. $$f(x)=\sin x-\frac14\sin 2x,\quad -\pi<x<\pi$$

   $$f'(x)=\cos x-\frac12\cos 2x$$

   $$f»(x)=-\sin x+\sin 2x$$

   Точки перегиба:

   $$\sin 2x-\sin x=0$$

   $$2\sin x\cos x-\sin x=0$$

   $$\sin x(2\cos x-1)=0$$

   Отсюда

   $$\sin x=0 \quad \text{или} \quad \cos x=\frac12$$

   На промежутке $$(-\pi;\pi)$$ получаем:

   $$x=0,\quad x=-\frac{\pi}{3},\quad x=\frac{\pi}{3}$$

Ответ

1) $$-\frac{\pi}{2},\ \frac{\pi}{2}$$; 2) $$2$$; 3) $$\frac{2}{3}$$; 4) $$-\frac{\pi}{3},\ 0,\ \frac{\pi}{3}$$.