Упр.304 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Найти интервалы выпуклости вверх и интервалы выпуклости вниз функции:

1. $$f(x)=x^5-10x^2+3x+1$$;
2. $$f(x)=x^4-6x^2+3x+4$$.

1. $$f(x)=x^5-10x^2+3x+1$$

   Найдём вторую производную:

   $$f'(x)=5x^4-20x+3$$

   $$f»(x)=20x^3-20=20(x^3-1)=20(x-1)(x^2+x+1)$$

   Так как $$x^2+x+1>0$$ при всех $$x$$, знак $$f»(x)$$ определяется множителем $$x-1$$.

   Если $$x<1$$, то $$f»(x)<0$$, значит функция выпукла вверх.

   Если $$x>1$$, то $$f»(x)>0$$, значит функция выпукла вниз.

2. $$f(x)=x^4-6x^2+3x+4$$

   Найдём вторую производную:

   $$f'(x)=4x^3-12x+3$$

   $$f»(x)=12x^2-12=12(x^2-1)=12(x-1)(x+1)$$

   Исследуем знак $$f»(x)$$:

   $$f»(x)>0$$ при $$x<-1$$ и $$x>1$$, значит функция выпукла вниз на этих промежутках.

   $$f»(x)<0$$ при $$-1<x<1$$, значит функция выпукла вверх на этом промежутке.

Ответ

1) Выпукла вверх на $$(-\infty;1]$$, выпукла вниз на $$[1;+\infty)$$.

2) Выпукла вверх на $$[-1;1]$$, выпукла вниз на $$(-\infty;-1]\cup[1;+\infty)$$.