Упр.302 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1. Рассматриваются всевозможные параболы, касающиеся оси $$Ox$$ и прямой $$y=\frac{x}{2}-3$$ и такие, что их ветви направлены вниз. Найти уравнение той параболы, для которой сумма расстояний от начала координат до точек пересечения параболы с осями координат является наименьшей.

Пусть искомая парабола имеет вид $$y=a(x-b)^2,$$ где $$a<0.$$

Так как парабола касается прямой $$y=\frac{x}{2}-3,$$ то в точке касания их угловые коэффициенты равны:

$$y'(x)=2a(x-b),$$

$$2a(x-b)=\frac12,$$

$$x-b=\frac{1}{4a}, \qquad b=x-\frac{1}{4a}.$$

В точке касания также выполняется равенство ординат:

$$a(x-b)^2=\frac{x}{2}-3.$$

Подставим $$x-b=\frac{1}{4a}:$$

$$a\left(\frac{1}{4a}\right)^2=\frac{x}{2}-3,$$

$$\frac{1}{16a}=\frac{x}{2}-3,$$

$$x=6+\frac{1}{8a}.$$

Тогда

$$b=x-\frac{1}{4a}=6-\frac{1}{8a}.$$

Абсцисса точки пересечения с осью $$Ox$$ равна $$x_0=b,$$ а ордината точки пересечения с осью $$Oy$$ равна

$$y_0=-ab^2=-a\left(6-\frac{1}{8a}\right)^2.$$

Сумма расстояний от начала координат до этих точек равна

$$S(a)=x_0+y_0=6-\frac{1}{8a}-a\left(6-\frac{1}{8a}\right)^2.$$

Упростим:

$$S(a)=\frac{15}{2}-36a-\frac{9}{64a}.$$

Найдём минимум функции:

$$S'(a)=-36+\frac{9}{64a^2}.$$

Приравниваем производную к нулю:

$$-36+\frac{9}{64a^2}=0,$$

$$\frac{9}{64a^2}=36,$$

$$a^2=\frac{1}{256}.$$

Так как $$a<0,$$ то

$$a=-\frac{1}{16}.$$

Тогда

$$b=6-\frac{1}{8a}=6-\frac{1}{8\cdot\left(-\frac{1}{16}\right)}=8.$$

Следовательно, искомая парабола:

$$y=-\frac{1}{16}(x-8)^2.$$

Ответ

$$y=-\frac{1}{16}(x-8)^2.$$