Упр.301 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Среди этих трапеций выбрана та, которая имеет наибольшую площадь. Найти эту площадь.

Пусть точки другого основания трапеции имеют абсциссы $$1-k$$ и $$1+k$$, где $$0 \le k \le 1.$$ Тогда они лежат на параболе $$y=(x-1)^2$$, и их ординаты равны

$$y_1=(1-k-1)^2=k^2,\qquad y_2=(1+k-1)^2=k^2.$$

Значит, верхнее основание трапеции горизонтально, а её высота равна

$$h=1-k^2.$$

Длина нижнего основания:

$$BC=5-3=2.$$

Длина верхнего основания:

$$a=(1+k)-(1-k)=2k.$$

Тогда площадь трапеции

$$S(k)=\frac12\,(a+BC)\,h=\frac12(2k+2)(1-k^2)=(k+1)(1-k^2).$$

Упростим:

$$S(k)=1+k-k^2-k^3.$$

Найдём производную:

$$S'(k)=1-2k-3k^2.$$

Решим уравнение $$S'(k)=0$$:

$$1-2k-3k^2=0$$

$$3k^2+2k-1=0$$

$$D=2^2+4\cdot 3\cdot 1=16,$$

$$k=\frac{-2\pm 4}{6}.$$

Отсюда

$$k_1=-1,\qquad k_2=\frac13.$$

С учётом условия $$0 \le k \le 1$$ подходит только $$k=\frac13.$$

Тогда максимальная площадь равна

$$S_{\max}=S\!\left(\frac13\right)=\left(1+\frac13\right)\left(1-\frac19\right)=\frac43\cdot\frac89=\frac{32}{27}.$$

Ответ

$$\frac{32}{27}$$