Упр.300 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Найти угловой коэффициент прямой, проходящей через точку $$A(1; 2)$$ и отсекающей от первого координатного угла треугольник наименьшей площади.

Пусть искомая прямая имеет вид $$y=kx+b.$$

Так как она проходит через точку $$A(1;2),$$ то

$$2=k\cdot 1+b,$$

откуда

$$b=2-k.$$

Тогда уравнение прямой можно записать так:

$$y=kx+2-k=k(x-1)+2.$$

Найдём точки пересечения с осями координат.

С осью $$Ox$$:

$$k(x-1)+2=0,$$

$$x=1-\frac{2}{k}.$$

С осью $$Oy$$:

$$y=2-k.$$

Площадь отсекаемого в первом координатном угле треугольника равна

$$S(k)=\frac12\left(1-\frac{2}{k}\right)(2-k).$$

Упростим:

$$S(k)=\frac12\left(2-k-\frac{4}{k}+2\right)=\frac12\left(4-k-\frac{4}{k}\right).$$

Найдём производную:

$$S'(k)=\frac12\left(-1+\frac{4}{k^2}\right)=\frac{4-k^2}{2k^2}.$$

Для минимума площади нужно, чтобы

$$S'(k)=0,$$

то есть

$$4-k^2=0,$$

$$k=\pm 2.$$

Так как прямая отсекает треугольник в первом координатном угле, её угловой коэффициент должен быть отрицательным, значит

$$k=-2.$$

Ответ

$$-2$$