Упр.3 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Найти область определения функции:

1. $$y=1\cos x$$;
2. $$y=2\sin x$$;
3. $$y=\operatorname{tg}x/3$$;
4. $$y=\operatorname{tg}5x$$.

1. $$y=\frac{1}{\cos x}$$

   Знаменатель не должен обращаться в нуль:

   $$\cos x\ne 0$$

   $$x\ne \frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}$$

   Следовательно,

   $$D(y)=\mathbb{R}\setminus\left\{\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in \mathbb{Z}\right\}$$

2. $$y=\frac{2}{\sin x}$$

   Знаменатель не должен обращаться в нуль:

   $$\sin x\ne 0$$

   $$x\ne \pi n,\quad n\in \mathbb{Z}$$

   Следовательно,

   $$D(y)=\mathbb{R}\setminus\left\{\pi n,\ n\in \mathbb{Z}\right\}$$

3. $$y=\tg\frac{x}{3}$$

   Тангенс не определён, когда

   $$\frac{x}{3}=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}$$

   Отсюда

   $$x=\frac{3\pi}{2}+3\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}$$

   Следовательно,

   $$D(y)=\mathbb{R}\setminus\left\{\frac{3\pi}{2}+3\pi n,\ n\in \mathbb{Z}\right\}$$

4. $$y=\tg 5x$$

   Тангенс не определён, когда

   $$5x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}$$

   Отсюда

   $$x=\frac{\pi}{10}+\frac{\pi n}{5},\quad n\in \mathbb{Z}$$

   Следовательно,

   $$D(y)=\mathbb{R}\setminus\left\{\frac{\pi}{10}+\frac{\pi n}{5},\ n\in \mathbb{Z}\right\}$$

Ответ

1) $$D(y)=\mathbb{R}\setminus\left\{\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in \mathbb{Z}\right\}$$;
2) $$D(y)=\mathbb{R}\setminus\left\{\pi n,\ n\in \mathbb{Z}\right\}$$;
3) $$D(y)=\mathbb{R}\setminus\left\{\frac{3\pi}{2}+3\pi n,\ n\in \mathbb{Z}\right\}$$;
4) $$D(y)=\mathbb{R}\setminus\left\{\frac{\pi}{10}+\frac{\pi n}{5},\ n\in \mathbb{Z}\right\}$$.