Упр.299 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 11 класс, Просвещение: 299. Из всех прямоугольных параллелепипедов, вписанных в сферу радиуса R и имеющих в основании квадрат, найти параллелепипед наибольшего объёма. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 11 kolyagin11 299 118

Пусть сторона квадрата в основании параллелепипеда равна $$a$$, а высота равна $$b$$.

Диагональ основания:

$$d=a\sqrt{2}.$$

Так как параллелепипед вписан в сферу радиуса $$R$$, то диагональ параллелепипеда равна диаметру сферы:

$$d^2+b^2=(2R)^2.$$

Тогда

$$2a^2+b^2=4R^2,$$

откуда

$$b=\sqrt{4R^2-2a^2}.$$

Объём параллелепипеда:

$$V(a)=a^2b=a^2\sqrt{4R^2-2a^2}.$$

Найдём максимум функции $$V(a)$$ при $$0<a<\sqrt{2}R$$:

$$ V'(a)=2a\sqrt{4R^2-2a^2}+a^2\cdot \frac{-4a}{2\sqrt{4R^2-2a^2}} $$

$$ V'(a)=\frac{8R^2a-8a^3}{2\sqrt{4R^2-2a^2}} =\frac{4a(2R^2-a^2)}{\sqrt{4R^2-2a^2}}. $$

Критические точки определяются из уравнения

$$4a(2R^2-a^2)=0,$$

откуда при $$a>0$$ получаем

$$a=\sqrt{2}R.$$

Но это значение не подходит, так как тогда $$b=0$$. Значит, максимум достигается при

$$2R^2-a^2=0,$$

то есть

$$a=\frac{2R}{\sqrt{3}}.$$

Найдём высоту:

$$ b=\sqrt{4R^2-2\cdot \frac{4R^2}{3}} =\sqrt{\frac{4R^2}{3}} =\frac{2R}{\sqrt{3}}. $$

Следовательно, $$a=b$$, значит, искомый параллелепипед — куб.

Ответ

Куб со стороной $$\frac{2R}{\sqrt{3}}$$.