Упр.298 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Из всех прямоугольников с периметром $$p$$ найти прямоугольник с наименьшей диагональю.

Пусть стороны прямоугольника равны $$a$$ и $$b$$. Тогда по условию периметр равен $$p$$, значит

$$2a+2b=p,$$

откуда

$$a+b=\frac{p}{2}, \qquad b=\frac{p}{2}-a.$$

Диагональ прямоугольника:

$$d=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{a^2+\left(\frac{p}{2}-a\right)^2}.$$

Преобразуем:

$$d=\sqrt{a^2+\frac{p^2}{4}-ap+a^2}=\sqrt{2a^2-ap+\frac{p^2}{4}}.$$

Так как функция $$\sqrt{x}$$ возрастает, достаточно найти минимум выражения

$$2a^2-ap+\frac{p^2}{4}.$$

Его производная:

$$\left(2a^2-ap+\frac{p^2}{4}\right)’=4a-p.$$

Приравниваем к нулю:

$$4a-p=0,$$

$$a=\frac{p}{4}.$$

Тогда

$$b=\frac{p}{2}-\frac{p}{4}=\frac{p}{4}.$$

Следовательно, наименьшую диагональ имеет прямоугольник с равными сторонами, то есть квадрат.

Ответ

Квадрат со стороной $$\frac{p}{4}$$.