Упр.297 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Найти наибольшую площадь прямоугольника, одна из вершин которого лежит на оси $$Ox$$, вторая — на положительной полуоси $$Oy$$, третья — в точке $$(0; 0)$$, а четвёртая — на параболе $$y=3-x^2$$.

Пусть абсцисса вершины прямоугольника равна $$x$$, тогда его высота равна $$y=3-x^2$$.

Так как прямоугольник расположен в первой четверти, то $$x \ge 0$$ и $$3-x^2 \ge 0$$, откуда $$0 \le x \le \sqrt{3}$$.

Площадь прямоугольника:

$$S(x)=x(3-x^2)=3x-x^3.$$

Найдём производную:

$$S'(x)=3-3x^2=3(1-x^2).$$

Критические точки на отрезке $$[0;\sqrt{3}]$$:

$$S'(x)=0 \Rightarrow x=1.$$

Проверим значения площади в концах отрезка и в критической точке:

$$S(0)=0,$$

$$S(1)=1\cdot(3-1)=2,$$

$$S(\sqrt{3})=\sqrt{3}\,(3-3)=0.$$

Наибольшая площадь равна $$2$$.

Ответ

$$2$$