Упр.296 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1) f(x) = система
1-x при x < 1, корень x-1 при x > =1
на отрезке [-1;2];
2) f(x) = система
-2×2 — 12x — 17 при x < -2, (x+1)3 при x > =2
на отрезке [-5;-1].

1) Рассмотрим функцию

$$ f(x)= \begin{cases} 1-x, & x<1,\\ \sqrt{x-1}, & x\ge 1 \end{cases} $$

на отрезке $$[-1;2]$$.

На промежутке $$[-1;1)$$ имеем $$f(x)=1-x$$, значит

$$f'(x)=-1<0,$$

то есть функция убывает.

На промежутке $$[1;2]$$ имеем $$f(x)=\sqrt{x-1}$$, значит

$$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x-1}}>0,$$

то есть функция возрастает.

Найдём значения функции в концах отрезка и в точке смены формулы:

$$ f(-1)=1-(-1)=2,\quad f(1)=\sqrt{1-1}=0,\quad f(2)=\sqrt{2-1}=1. $$

Следовательно, наименьшее значение равно $$0$$, а наибольшее — $$2$$.

2) Рассмотрим функцию

$$ f(x)= \begin{cases} -2x^2-12x-17, & x<-2,\\ (x+1)^3, & x\ge -2 \end{cases} $$

на отрезке $$[-5;-1]$$.

На промежутке $$[-5;-2)$$ имеем

$$f'(x)=(-2x^2-12x-17)’=-4x-12.$$

Тогда

$$-4x-12\ge 0 \iff x\le -3.$$

Значит, на $$[-5;-3]$$ функция возрастает, а на $$[-3;-2)$$ убывает.

На промежутке $$[-2;-1]$$ имеем

$$f'(x)=((x+1)^3)’=3(x+1)^2\ge 0,$$

то есть функция возрастает.

Вычислим значения функции в нужных точках:

$$ f(-5)=-2\cdot(-5)^2-12\cdot(-5)-17=-7, $$

$$ f(-3)=-2\cdot(-3)^2-12\cdot(-3)-17=1, $$

$$ f(-1)=(-1+1)^3=0. $$

Следовательно, наименьшее значение равно $$-7$$, а наибольшее — $$1$$.

Ответ

1) $$0$$; $$2$$. 2) $$-7$$; $$1$$.