Упр.296 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)
- Найти наибольшее и наименьшее значения функции:
1) $$f(x)=\begin{cases}1-x, & x<1,\\ \sqrt{x-1}, & x\geqslant1\end{cases}$$ на отрезке $$[-1;2]$$;
2) $$f(x)=\begin{cases}-2x^2-12x-17, & x<-2,\\ (x+1)^3, & x\geqslant2\end{cases}$$ на отрезке $$[-5;-1]$$.
1) Рассмотрим функцию
$$f(x)= \begin{cases} 1-x, & x<1,\\ \sqrt{x-1}, & x\ge 1 \end{cases}$$
на отрезке $$[-1;2]$$.
На промежутке $$[-1;1)$$ имеем $$f(x)=1-x$$, значит
$$f'(x)=-1<0,$$
то есть функция убывает.
На промежутке $$[1;2]$$ имеем $$f(x)=\sqrt{x-1}$$, значит
$$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x-1}}>0,$$
то есть функция возрастает.
Найдём значения функции в концах отрезка и в точке смены формулы:
$$f(-1)=1-(-1)=2,\quad f(1)=\sqrt{1-1}=0,\quad f(2)=\sqrt{2-1}=1.$$
Следовательно, наименьшее значение равно $$0$$, а наибольшее — $$2$$.
2) Рассмотрим функцию
$$f(x)= \begin{cases} -2x^2-12x-17, & x<-2,\\ (x+1)^3, & x\ge -2 \end{cases}$$
на отрезке $$[-5;-1]$$.
На промежутке $$[-5;-2)$$ имеем
$$f'(x)=(-2x^2-12x-17)’=-4x-12.$$
Тогда
$$-4x-12\ge 0 \iff x\le -3.$$
Значит, на $$[-5;-3]$$ функция возрастает, а на $$[-3;-2)$$ убывает.
На промежутке $$[-2;-1]$$ имеем
$$f'(x)=((x+1)^3)’=3(x+1)^2\ge 0,$$
то есть функция возрастает.
Вычислим значения функции в нужных точках:
$$f(-5)=-2\cdot(-5)^2-12\cdot(-5)-17=-7,$$
$$f(-3)=-2\cdot(-3)^2-12\cdot(-3)-17=1,$$
$$f(-1)=(-1+1)^3=0.$$
Следовательно, наименьшее значение равно $$-7$$, а наибольшее — $$1$$.
Ответ
1) $$0$$; $$2$$. 2) $$-7$$; $$1$$.
