Упр.295 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1) f(x) =х4+1/x2+1 на отрезке [-1; 1];
2) f(x) = |х2 + 2х — 3| + 3/2lnx на отрезке [1/2;2].

1) $$f(x)=\frac{x^4+1}{x^2+1}, \quad x\in[-1;1].$$

Найдём производную:

$$ f'(x)=\frac{(4x^3)(x^2+1)-(x^4+1)\cdot 2x}{(x^2+1)^2} =\frac{2x(2x^4+2x^2-1)}{(x^2+1)^2}. $$

Критические точки на отрезке определяются из уравнения

$$2x(2x^4+2x^2-1)=0.$$

Отсюда $$x=0$$ или $$2x^4+2x^2-1=0.$$ Обозначим $$t=x^2$$. Тогда

$$2t^2+2t-1=0,$$

$$ t=\frac{-2\pm\sqrt{4+8}}{4}=\frac{-1\pm\sqrt3}{2}. $$

Подходит только

$$x^2=\frac{\sqrt3-1}{2}, \quad x=\pm\sqrt{\frac{\sqrt3-1}{2}}.$$

Вычислим значения функции в концах отрезка и в критических точках:

$$f(-1)=f(1)=\frac{1+1}{1+1}=1,$$

$$f(0)=\frac{0+1}{0+1}=1,$$

$$ f\!\left(\pm\sqrt{\frac{\sqrt3-1}{2}}\right) =\frac{x^4+1}{x^2+1} =\frac{\left(\frac{\sqrt3-1}{2}\right)^2+1}{\frac{\sqrt3-1}{2}+1} =2\sqrt3-2. $$

Следовательно, наибольшее значение равно $$1,$$ а наименьшее — $$2\sqrt3-2.$$

2) $$f(x)=|x^2+2x-3|+\frac32\ln x, \quad x\in\left[\frac12;2\right].$$

Так как $$x^2+2x-3=(x+3)(x-1),$$ то на отрезке $$\left[\frac12;2\right]$$ имеем:

при $$\frac12\le x\le 1$$ выражение $$x^2+2x-3\le 0,$$ значит

$$f(x)=-x^2-2x+3+\frac32\ln x;$$

при $$1\le x\le 2$$ выражение $$x^2+2x-3\ge 0,$$ значит

$$f(x)=x^2+2x-3+\frac32\ln x.$$

Рассмотрим каждый промежуток отдельно.

1) На $$\left[\frac12;1\right]$$:

$$ f'(x)=-2x-2+\frac{3}{2x} =\frac{-4x^2-4x+3}{2x}. $$

Решаем уравнение $$-4x^2-4x+3=0$$:

$$ 4x^2+4x-3=0,\quad D=16+48=64, $$

$$ x=\frac{-4\pm 8}{8}, \quad x_1=\frac12,\; x_2=-\frac32. $$

На отрезке подходит только $$x=\frac12.$$

2) На $$[1;2]$$:

$$ f'(x)=2x+2+\frac{3}{2x} =\frac{4x^2+4x+3}{2x}>0. $$

Значит, на $$[1;2]$$ функция возрастает.

Найдём значения функции в концах и в точке $$x=1$$:

$$ f\!\left(\frac12\right)=\left|\frac14+1-3\right|+\frac32\ln\frac12 =\frac74-\frac32\ln 2, $$

$$f(1)=|1+2-3|+\frac32\ln 1=0,$$

$$ f(2)=|4+4-3|+\frac32\ln 2=5+\frac32\ln 2. $$

Следовательно, наименьшее значение равно $$0,$$ а наибольшее — $$5+\frac32\ln 2.$$

Ответ

1) $$\max f(x)=1,\quad \min f(x)=2\sqrt3-2.$$

2) $$\min f(x)=0,\quad \max f(x)=5+\frac32\ln 2.$$