Упр.295 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)
- Найти наибольшее и наименьшее значения функции:
1) $$f(x)=x^4+\frac{1}{x^2}+1$$ на отрезке $$[-1;1]$$;
2) $$f(x)=\left|x^2+2x-3\right|+\frac{3}{2}\ln x$$ на отрезке $$\left[\frac{1}{2};2\right]$$.
1) $$f(x)=\frac{x^4+1}{x^2+1}, \quad x\in[-1;1].$$
Найдём производную:
$$f'(x)=\frac{(4x^3)(x^2+1)-(x^4+1)\cdot 2x}{(x^2+1)^2} =\frac{2x(2x^4+2x^2-1)}{(x^2+1)^2}.$$
Критические точки на отрезке определяются из уравнения
$$2x(2x^4+2x^2-1)=0.$$
Отсюда $$x=0$$ или $$2x^4+2x^2-1=0.$$ Обозначим $$t=x^2$$. Тогда
$$2t^2+2t-1=0,$$
$$t=\frac{-2\pm\sqrt{4+8}}{4}=\frac{-1\pm\sqrt3}{2}.$$
Подходит только
$$x^2=\frac{\sqrt3-1}{2}, \quad x=\pm\sqrt{\frac{\sqrt3-1}{2}}.$$
Вычислим значения функции в концах отрезка и в критических точках:
$$f(-1)=f(1)=\frac{1+1}{1+1}=1,$$
$$f(0)=\frac{0+1}{0+1}=1,$$
$$f\!\left(\pm\sqrt{\frac{\sqrt3-1}{2}}\right) =\frac{x^4+1}{x^2+1} =\frac{\left(\frac{\sqrt3-1}{2}\right)^2+1}{\frac{\sqrt3-1}{2}+1} =2\sqrt3-2.$$
Следовательно, наибольшее значение равно $$1,$$ а наименьшее — $$2\sqrt3-2.$$
2) $$f(x)=|x^2+2x-3|+\frac32\ln x, \quad x\in\left[\frac12;2\right].$$
Так как $$x^2+2x-3=(x+3)(x-1),$$ то на отрезке $$\left[\frac12;2\right]$$ имеем:
при $$\frac12\le x\le 1$$ выражение $$x^2+2x-3\le 0,$$ значит
$$f(x)=-x^2-2x+3+\frac32\ln x;$$
при $$1\le x\le 2$$ выражение $$x^2+2x-3\ge 0,$$ значит
$$f(x)=x^2+2x-3+\frac32\ln x.$$
Рассмотрим каждый промежуток отдельно.
1) На $$\left[\frac12;1\right]$$:
$$f'(x)=-2x-2+\frac{3}{2x} =\frac{-4x^2-4x+3}{2x}.$$
Решаем уравнение $$-4x^2-4x+3=0$$:
$$4x^2+4x-3=0,\quad D=16+48=64,$$
$$x=\frac{-4\pm 8}{8}, \quad x_1=\frac12,\; x_2=-\frac32.$$
На отрезке подходит только $$x=\frac12.$$
2) На $$[1;2]$$:
$$f'(x)=2x+2+\frac{3}{2x} =\frac{4x^2+4x+3}{2x}>0.$$
Значит, на $$[1;2]$$ функция возрастает.
Найдём значения функции в концах и в точке $$x=1$$:
$$f\!\left(\frac12\right)=\left|\frac14+1-3\right|+\frac32\ln\frac12 =\frac74-\frac32\ln 2,$$
$$f(1)=|1+2-3|+\frac32\ln 1=0,$$
$$f(2)=|4+4-3|+\frac32\ln 2=5+\frac32\ln 2.$$
Следовательно, наименьшее значение равно $$0,$$ а наибольшее — $$5+\frac32\ln 2.$$
Ответ
1) $$\max f(x)=1,\quad \min f(x)=2\sqrt3-2.$$
2) $$\min f(x)=0,\quad \max f(x)=5+\frac32\ln 2.$$
