Упр.294 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1) корень 3 степени х2(1 — X) на интервале (0; 1);
2) корень x(2 — х) на интервале (0; 2).

1. $$y=\sqrt[3]{x^2(1-x)}=\sqrt[3]{x^2-x^3}.$$

   Найдём производную:

   $$y’=\frac{1}{3}(x^2-x^3)^{-2/3}(2x-3x^2)=\frac{2x-3x^2}{3\sqrt[3]{(x^2-x^3)^2}}.$$

   На интервале $$\left(0;\,1\right)$$ знаменатель положителен, поэтому знак $$y’$$ определяется числителем:

   $$2x-3x^2=x(2-3x).$$

   $$y’>0 \text{ при } 0<x<\frac{2}{3}, \qquad y'<0 \text{ при } \frac{2}{3}<x<1.$$

   Значит, наибольшее значение функция принимает при $$x=\frac{2}{3}$$:

   $$y_{\max}= \sqrt[3]{\left(\frac{2}{3}\right)^2\left(1-\frac{2}{3}\right)}=\sqrt[3]{\frac{4}{27}}=\frac{\sqrt[3]{4}}{3}.$$

2. $$y=\sqrt{x(2-x)}=\sqrt{2x-x^2}.$$

   Найдём производную:

   $$y’=\frac{2-2x}{2\sqrt{2x-x^2}}=\frac{1-x}{\sqrt{2x-x^2}}.$$

   На интервале $$\left(0;\,2\right)$$ знаменатель положителен, поэтому:

   $$y’>0 \text{ при } 0<x<1, \qquad y'<0 \text{ при } 1<x<2.$$

   Следовательно, наибольшее значение достигается при $$x=1$$:

   $$y_{\max}=\sqrt{1\cdot(2-1)}=1.$$

Ответ

1) $$\frac{\sqrt[3]{4}}{3}$$; 2) $$1$$.