Упр.293 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1. Найти наименьшее значение функции: 1) $$e^{3x}-3x$$ на интервале $$(-1; 1)$$; 2) $$\frac{1}{x}+\ln x$$ на интервале $$(0; 2)$$.

1. $$y=e^{3x}-3x,\quad x\in(-1;1).$$

   Найдём производную:

   $$y’=3e^{3x}-3=3\bigl(e^{3x}-1\bigr).$$

   Критическая точка:

   $$3e^{3x}-3=0 \;\Rightarrow\; e^{3x}=1 \;\Rightarrow\; x=0.$$

   При $$x<0$$ имеем $$e^{3x}<1$$, значит $$y'<0$$; при $$x>0$$ имеем $$e^{3x}>1$$, значит $$y’>0$$. Следовательно, в точке $$x=0$$ функция принимает наименьшее значение на интервале $$(-1;1)$$.

   $$y(0)=e^0-3\cdot 0=1.$$

2. $$y=\frac{1}{x}+\ln x,\quad x\in(0;2).$$

   Найдём производную:

   $$y’=-\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x}=\frac{x-1}{x^2}.$$

   Так как $$x^2>0$$ при $$x>0$$, знак производной определяется числителем $$x-1$$. Поэтому при $$0<x<1$$ функция убывает, а при $$1<x<2$$ возрастает. Значит, наименьшее значение достигается при $$x=1$$.

   $$y(1)=\frac{1}{1}+\ln 1=1+0=1.$$

Ответ

1) $$1$$; 2) $$1$$.