Упр.292 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)
1) 3 корень х — x корент x на промежутке х > 0;
2) 3х-2х корень х на промежутке х > 0;
3) lnх — х на промежутке х > 0;
4) 2х — е2х на интервале (-1; 1).
$$f(x)=3\sqrt{x}-x\sqrt{x}, \quad x>0.$$
Найдём производную:
$$f'(x)=3\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}-\frac{3}{2}\sqrt{x}=\frac{3-3x}{2\sqrt{x}}.$$
Так как $$2\sqrt{x}>0$$ при $$x>0$$, то знак производной определяется числителем:
$$3-3x\ge 0 \;\Rightarrow\; x\le 1.$$
Значит, наибольшее значение достигается при $$x=1$$:
$$f(1)=3\sqrt{1}-1\cdot \sqrt{1}=3-1=2.$$
$$f(x)=3x-2x\sqrt{x}, \quad x>0.$$
Найдём производную:
$$f'(x)=3-2\cdot \frac{3}{2}\sqrt{x}=3-3\sqrt{x}.$$
Для возрастания функции:
$$3-3\sqrt{x}\ge 0 \;\Rightarrow\; \sqrt{x}\le 1 \;\Rightarrow\; 0<x\le 1.$$
Следовательно, максимум достигается при $$x=1$$:
$$f(1)=3\cdot 1-2\cdot 1\cdot \sqrt{1}=3-2=1.$$
$$f(x)=\ln x-x, \quad x>0.$$
Найдём производную:
$$f'(x)=\frac{1}{x}-1=\frac{1-x}{x}.$$
Так как $$x>0$$, то
$$\frac{1-x}{x}\ge 0 \;\Rightarrow\; 1-x\ge 0 \;\Rightarrow\; x\le 1.$$
Значит, наибольшее значение достигается при $$x=1$$:
$$f(1)=\ln 1-1=0-1=-1.$$
$$f(x)=2x-e^{2x}, \quad x\in(-1;1).$$
Найдём производную:
$$f'(x)=2-2e^{2x}.$$
Для возрастания функции:
$$2-2e^{2x}\ge 0 \;\Rightarrow\; e^{2x}\le 1 \;\Rightarrow\; 2x\le 0 \;\Rightarrow\; x\le 0.$$
На интервале $$(-1;1)$$ максимум достигается при $$x=0$$:
$$f(0)=2\cdot 0-e^0= -1.$$
Ответ
1) $$2$$; 2) $$1$$; 3) $$-1$$; 4) $$-1$$.
