Упр.292 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1. Найти наибольшее значение функции:
   
   1) $$3\sqrt{x}-x\sqrt{x}$$ на промежутке $$x>0$$;
   
   2) $$3x-2x\sqrt{x}$$ на промежутке $$x>0$$;
   
   3) $$\ln x-x$$ на промежутке $$x>0$$;
   
   4) $$2x-e^{2x}$$ на интервале $$(-1;1)$$.

1. $$f(x)=3\sqrt{x}-x\sqrt{x}, \quad x>0.$$

   Найдём производную:

   $$f'(x)=3\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}-\frac{3}{2}\sqrt{x}=\frac{3-3x}{2\sqrt{x}}.$$

   Так как $$2\sqrt{x}>0$$ при $$x>0$$, то знак производной определяется числителем:

   $$3-3x\ge 0 \;\Rightarrow\; x\le 1.$$

   Значит, наибольшее значение достигается при $$x=1$$:

   $$f(1)=3\sqrt{1}-1\cdot \sqrt{1}=3-1=2.$$

2. $$f(x)=3x-2x\sqrt{x}, \quad x>0.$$

   Найдём производную:

   $$f'(x)=3-2\cdot \frac{3}{2}\sqrt{x}=3-3\sqrt{x}.$$

   Для возрастания функции:

   $$3-3\sqrt{x}\ge 0 \;\Rightarrow\; \sqrt{x}\le 1 \;\Rightarrow\; 0<x\le 1.$$

   Следовательно, максимум достигается при $$x=1$$:

   $$f(1)=3\cdot 1-2\cdot 1\cdot \sqrt{1}=3-2=1.$$

3. $$f(x)=\ln x-x, \quad x>0.$$

   Найдём производную:

   $$f'(x)=\frac{1}{x}-1=\frac{1-x}{x}.$$

   Так как $$x>0$$, то

   $$\frac{1-x}{x}\ge 0 \;\Rightarrow\; 1-x\ge 0 \;\Rightarrow\; x\le 1.$$

   Значит, наибольшее значение достигается при $$x=1$$:

   $$f(1)=\ln 1-1=0-1=-1.$$

4. $$f(x)=2x-e^{2x}, \quad x\in(-1;1).$$

   Найдём производную:

   $$f'(x)=2-2e^{2x}.$$

   Для возрастания функции:

   $$2-2e^{2x}\ge 0 \;\Rightarrow\; e^{2x}\le 1 \;\Rightarrow\; 2x\le 0 \;\Rightarrow\; x\le 0.$$

   На интервале $$(-1;1)$$ максимум достигается при $$x=0$$:

   $$f(0)=2\cdot 0-e^0= -1.$$

Ответ

1) $$2$$; 2) $$1$$; 3) $$-1$$; 4) $$-1$$.