Упр.291 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

2) f(x) = sin х + cos х на отрезке [0; пи/2].

1) Рассмотрим функцию $$f(x)=\sin x+\cos x$$ на отрезке $$\left[\pi;\frac{3\pi}{2}\right].$$

Найдём производную:

$$f'(x)=\cos x-\sin x.$$

Стационарные точки:

$$\cos x-\sin x=0,$$

$$\cos x\neq 0 \Rightarrow 1-\tg x=0,$$

$$\tg x=1,$$

$$x=\frac{\pi}{4}+\pi n.$$

На отрезке $$\left[\pi;\frac{3\pi}{2}\right]$$ лежит точка $$x=\frac{5\pi}{4}.$$

Вычислим значения функции в концах отрезка и в стационарной точке:

$$f(\pi)=\sin \pi+\cos \pi=0-1=-1,$$

$$f\left(\frac{5\pi}{4}\right)=\sin \frac{5\pi}{4}+\cos \frac{5\pi}{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}=-\sqrt{2},$$

$$f\left(\frac{3\pi}{2}\right)=\sin \frac{3\pi}{2}+\cos \frac{3\pi}{2}=-1+0=-1.$$

Следовательно, наибольшее значение равно $$-1,$$ а наименьшее — $$-\sqrt{2}.$$

2) Рассмотрим функцию $$f(x)=\sin x+\cos x$$ на отрезке $$\left[0;\frac{\pi}{2}\right].$$

Найдём производную:

$$f'(x)=\cos x-\sin x.$$

Стационарные точки:

$$\cos x-\sin x=0,$$

$$\cos x\neq 0 \Rightarrow 1-\tg x=0,$$

$$\tg x=1,$$

$$x=\frac{\pi}{4}+\pi n.$$

На отрезке $$\left[0;\frac{\pi}{2}\right]$$ лежит точка $$x=\frac{\pi}{4}.$$

Вычислим значения функции в концах отрезка и в стационарной точке:

$$f(0)=\sin 0+\cos 0=0+1=1,$$

$$f\left(\frac{\pi}{4}\right)=\sin \frac{\pi}{4}+\cos \frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2},$$

$$f\left(\frac{\pi}{2}\right)=\sin \frac{\pi}{2}+\cos \frac{\pi}{2}=1+0=1.$$

Следовательно, наибольшее значение равно $$\sqrt{2},$$ а наименьшее — $$1.$$

Ответ

1) $$f_{\min}=-\sqrt{2},\quad f_{\max}=-1.$$
2) $$f_{\min}=1,\quad f_{\max}=\sqrt{2}.$$