Упр.290 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

290. Найти наибольшее и наименьшее значения функции:
     
     1) $$f(x)=x-2\ln x$$ на отрезке $$\left[\frac{3}{2};e\right]$$;
     
     2) $$f(x)=x+e^{-x}$$ на отрезке $$[-1;2]$$.

1. $$f(x)=x-2\ln x,\quad x\in\left[\frac32;e\right].$$

   Найдём производную:

   $$f'(x)=1-\frac{2}{x}=\frac{x-2}{x}.$$

   Критическая точка:

   $$f'(x)=0 \Rightarrow x-2=0 \Rightarrow x=2.$$

   Сравним значения функции в концах отрезка и в критической точке:

   $$f\left(\frac32\right)=\frac32-2\ln\frac32,$$

   $$f(2)=2-2\ln 2,$$

   $$f(e)=e-2\ln e=e-2.$$

   Так как на отрезке $$\left[\frac32;e\right]$$ функция сначала убывает, а затем возрастает, то

   $$f_{\min}=2-2\ln 2,\qquad f_{\max}=e-2.$$

2. $$f(x)=x+e^{-x},\quad x\in[-1;2].$$

   Найдём производную:

   $$f'(x)=1-e^{-x}.$$

   Критическая точка:

   $$1-e^{-x}=0 \Rightarrow e^{-x}=1 \Rightarrow x=0.$$

   Вычислим значения функции в концах отрезка и в критической точке:

   $$f(-1)=-1+e=e-1,$$

   $$f(0)=0+e^0=1,$$

   $$f(2)=2+e^{-2}.$$

   Следовательно,

   $$f_{\min}=1,\qquad f_{\max}=2+e^{-2}.$$

Ответ

1) $$f_{\min}=2-2\ln 2,\ f_{\max}=e-2.$$

2) $$f_{\min}=1,\ f_{\max}=2+e^{-2}.$$