Упр.289 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1. Из всех прямоугольников, площадь которых равна $$9\ \text{см}^2$$, найти прямоугольник с наименьшим периметром.

Пусть стороны прямоугольника равны $$a$$ и $$b$$. Тогда

$$ab=9,$$

откуда

$$b=\frac{9}{a}, \quad a>0.$$

Периметр прямоугольника:

$$P(a)=2a+2b=2a+\frac{18}{a}.$$

Найдём производную:

$$P'(a)=2-\frac{18}{a^2}=\frac{2a^2-18}{a^2}=\frac{2(a^2-9)}{a^2}.$$

Критические точки определяются из уравнения

$$2-\frac{18}{a^2}=0,$$

то есть

$$a^2=9,\quad a=3 \; (\text{так как } a>0).$$

При $$a<3$$ имеем $$P'(a)<0$$, а при $$a>3$$ — $$P'(a)>0$$. Значит, при $$a=3$$ периметр принимает наименьшее значение.

Тогда

$$b=\frac{9}{3}=3.$$

Следовательно, искомый прямоугольник — квадрат со стороной $$3$$ см.

Ответ

Квадрат со стороной $$3$$ см.