Упр.288 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Из всех прямоугольников с периметром $$p$$ найти прямоугольник наибольшей площади.

Пусть стороны прямоугольника равны $$a$$ и $$b$$. Тогда по условию периметр равен $$p$$, значит

$$2a+2b=p,$$

откуда

$$a+b=\frac{p}{2}, \qquad b=\frac{p}{2}-a.$$

Площадь прямоугольника как функция одной переменной:

$$S(a)=ab=a\left(\frac{p}{2}-a\right)=\frac{p}{2}a-a^2.$$

Найдём производную:

$$S'(a)=\frac{p}{2}-2a.$$

Для максимума площади производная должна обращаться в нуль:

$$\frac{p}{2}-2a=0,$$

$$2a=\frac{p}{2},$$

$$a=\frac{p}{4}.$$

Тогда

$$b=\frac{p}{2}-\frac{p}{4}=\frac{p}{4}.$$

Следовательно, наибольшую площадь имеет квадрат.

Ответ

Квадрат со стороной $$\frac{p}{4}$$.