Упр.285 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)
1) $$x^2+\frac{16}{x^2}$$ при $$x>0$$;
2) $$x+\frac{4}{x}$$ при $$x>0$$.
$$f(x)=x^2+\frac{16}{x^2}, \quad x>0.$$
Найдём производную:
$$f'(x)=2x-\frac{32}{x^3}=\frac{2x^4-32}{x^3}=\frac{2(x^4-16)}{x^3}.$$
Так как $$x>0,$$ то $$x^3>0,$$ и знак производной определяется числителем:
$$x^4-16=(x^2-4)(x^2+4).$$
При $$x>0$$ получаем критическую точку $$x=2.$$
Проверим значение функции в этой точке:
$$f(2)=2^2+\frac{16}{2^2}=4+4=8.$$
Следовательно, наименьшее значение функции равно $$8.$$
$$f(x)=x+\frac{4}{x}, \quad x>0.$$
Найдём производную:
$$f'(x)=1-\frac{4}{x^2}=\frac{x^2-4}{x^2}.$$
Так как $$x>0,$$ то $$x^2>0,$$ и знак производной определяется числителем:
$$x^2-4=(x-2)(x+2).$$
При $$x>0$$ критическая точка: $$x=2.$$
Вычислим значение функции:
$$f(2)=2+\frac{4}{2}=2+2=4.$$
Следовательно, наименьшее значение функции равно $$4.$$
Ответ
1) $$8$$; 2) $$4$$.
