Упр.285 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1) x2 + 16/x2 при х > 0;
2) х + 4/x при х > 0.

1. $$f(x)=x^2+\frac{16}{x^2}, \quad x>0.$$

   Найдём производную:

   $$f'(x)=2x-\frac{32}{x^3}=\frac{2x^4-32}{x^3}=\frac{2(x^4-16)}{x^3}.$$

   Так как $$x>0,$$ то $$x^3>0,$$ и знак производной определяется числителем:

   $$x^4-16=(x^2-4)(x^2+4).$$

   При $$x>0$$ получаем критическую точку $$x=2.$$

   Проверим значение функции в этой точке:

   $$f(2)=2^2+\frac{16}{2^2}=4+4=8.$$

   Следовательно, наименьшее значение функции равно $$8.$$

2. $$f(x)=x+\frac{4}{x}, \quad x>0.$$

   Найдём производную:

   $$f'(x)=1-\frac{4}{x^2}=\frac{x^2-4}{x^2}.$$

   Так как $$x>0,$$ то $$x^2>0,$$ и знак производной определяется числителем:

   $$x^2-4=(x-2)(x+2).$$

   При $$x>0$$ критическая точка: $$x=2.$$

   Вычислим значение функции:

   $$f(2)=2+\frac{4}{2}=2+2=4.$$

   Следовательно, наименьшее значение функции равно $$4.$$

Ответ

1) $$8$$; 2) $$4$$.