Упр.284 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)
1) х5 — 5х4 + 5х3 + 1 на отрезке [-1; 2];
2) 1 — х4 — х6 на интервале (-3; 3);
3) 2/x — х2 на промежутке х < 0;
4) x/4 + 4/x на промежутке х < 0.
$$f(x)=x^5-5x^4+5x^3+1,\quad x\in[-1;2].$$
Найдём производную:
$$f'(x)=5x^4-20x^3+15x^2=5x^2(x^2-4x+3)=5x^2(x-1)(x-3).$$
На отрезке $$[-1;2]$$ стационарные точки: $$x=0$$ и $$x=1$$.
Вычислим значения функции в концах отрезка и в стационарных точках:
$$f(-1)=-1-5-5+1=-10,$$
$$f(0)=1,$$
$$f(1)=1-5+5+1=2,$$
$$f(2)=32-80+40+1=-7.$$
Наибольшее значение равно $$2$$.
$$f(x)=1-x^4-x^6,\quad x\in(-3;3).$$
Найдём производную:
$$f'(x)=-4x^3-6x^5=-2x^3(2+3x^2).$$
Так как $$2+3x^2>0$$ при всех $$x$$, то знак производной определяется знаком $$-x^3$$. Следовательно, функция возрастает при $$x<0$$ и убывает при $$x>0$$.
Значит, наибольшее значение достигается при $$x=0$$:
$$f(0)=1.$$
$$f(x)=\frac{2}{x}-x^2,\quad x<0.$$
Найдём производную:
$$f'(x)=-\frac{2}{x^2}-2x=-\frac{2(1+x^3)}{x^2}.$$
Так как $$x^2>0$$ при $$x\ne 0$$, то знак производной определяется выражением $$-(1+x^3)$$. При $$x<0$$ функция возрастает на промежутке $$(-\infty;-1]$$, а затем убывает.
Следовательно, наибольшее значение достигается при $$x=-1$$:
$$f(-1)=\frac{2}{-1}-(-1)^2=-2-1=-3.$$
$$f(x)=\frac{x}{4}+\frac{4}{x},\quad x<0.$$
Найдём производную:
$$f'(x)=\frac14-\frac{4}{x^2}=\frac{x^2-16}{4x^2}.$$
Так как $$4x^2>0$$ при $$x\ne 0$$, то знак производной определяется числителем $$x^2-16=(x-4)(x+4)$$. На промежутке $$x<0$$ функция возрастает при $$x<-4$$ и убывает при $$-4<x<0$$.
Значит, наибольшее значение достигается при $$x=-4$$:
$$f(-4)=\frac{-4}{4}+\frac{4}{-4}=-1-1=-2.$$
Ответ
1) $$2$$; 2) $$1$$; 3) $$-3$$; 4) $$-2$$.
