Упр.283 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1. $$f(x)=2\sin x+\cos 2x$$ на отрезке $$[0;2\pi]$$.
2. $$f(x)=2\cos x-\cos 2x$$ на отрезке $$[0;\pi]$$.

1. $$f(x)=2\sin x+\cos 2x,\quad x\in[0;2\pi].$$

   Найдём производную:

   $$f'(x)=2\cos x-2\sin 2x.$$

   Стационарные точки:

   $$2\cos x-2\sin 2x=0$$
   $$2\cos x-4\sin x\cos x=0$$
   $$2\cos x(1-2\sin x)=0.$$

   Отсюда:

   $$\cos x=0 \quad \text{или} \quad \sin x=\frac12.$$

   На отрезке $$[0;2\pi]$$ получаем точки:

   $$x=\frac{\pi}{2},\ \frac{3\pi}{2},\ \frac{\pi}{6},\ \frac{5\pi}{6}.$$

   Вычислим значения функции в концах отрезка и в стационарных точках:

   $$f(0)=2\sin 0+\cos 0=1,$$
   $$f\!\left(\frac{\pi}{6}\right)=2\sin\frac{\pi}{6}+\cos\frac{\pi}{3}=1+\frac12=\frac32,$$
   $$f\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=2\sin\frac{\pi}{2}+\cos\pi=2-1=1,$$
   $$f\!\left(\frac{5\pi}{6}\right)=2\sin\frac{5\pi}{6}+\cos\frac{5\pi}{3}=1+\frac12=\frac32,$$
   $$f\!\left(\frac{3\pi}{2}\right)=2\sin\frac{3\pi}{2}+\cos 3\pi=-2-1=-3,$$
   $$f(2\pi)=2\sin 2\pi+\cos 4\pi=1.$$

   Следовательно, наибольшее значение равно $$\frac32$$, а наименьшее — $$-3$$.

2. $$f(x)=2\cos x-\cos 2x,\quad x\in[0;\pi].$$

   Найдём производную:

   $$f'(x)=-2\sin x+2\sin 2x.$$

   Стационарные точки:

   $$-2\sin x+2\sin 2x=0$$
   $$-2\sin x+4\sin x\cos x=0$$
   $$2\sin x(2\cos x-1)=0.$$

   Отсюда:

   $$\sin x=0 \quad \text{или} \quad \cos x=\frac12.$$

   На отрезке $$[0;\pi]$$ получаем точки:

   $$x=0,\ \frac{\pi}{3},\ \pi.$$

   Вычислим значения функции:

   $$f(0)=2\cos 0-\cos 0=1,$$
   $$f\!\left(\frac{\pi}{3}\right)=2\cos\frac{\pi}{3}-\cos\frac{2\pi}{3}=1+\frac12=\frac32,$$
   $$f(\pi)=2\cos\pi-\cos 2\pi=-2-1=-3.$$

   Следовательно, наибольшее значение равно $$\frac32$$, а наименьшее — $$-3$$.

Ответ

1) $$\max f(x)=\frac32,\ \min f(x)=-3.$$
2) $$\max f(x)=\frac32,\ \min f(x)=-3.$$