Упр.283 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Задача

2) f(x) = 2cos х — cos 2х на отрезке [0; пи].

Подробный ответ

$$f(x)=2\sin x+\cos 2x,\quad x\in[0;2\pi].$$
Найдём производную:
$$f'(x)=2\cos x-2\sin 2x.$$
Стационарные точки:
$$ 2\cos x-2\sin 2x=0 $$
$$ 2\cos x-4\sin x\cos x=0 $$
$$ 2\cos x(1-2\sin x)=0. $$
Отсюда:
$$\cos x=0 \quad \text{или} \quad \sin x=\frac12.$$
На отрезке $$[0;2\pi]$$ получаем точки:
$$x=\frac{\pi}{2},\ \frac{3\pi}{2},\ \frac{\pi}{6},\ \frac{5\pi}{6}.$$
Вычислим значения функции в концах отрезка и в стационарных точках:
$$ f(0)=2\sin 0+\cos 0=1, $$
$$ f\!\left(\frac{\pi}{6}\right)=2\sin\frac{\pi}{6}+\cos\frac{\pi}{3}=1+\frac12=\frac32, $$
$$ f\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=2\sin\frac{\pi}{2}+\cos\pi=2-1=1, $$
$$ f\!\left(\frac{5\pi}{6}\right)=2\sin\frac{5\pi}{6}+\cos\frac{5\pi}{3}=1+\frac12=\frac32, $$
$$ f\!\left(\frac{3\pi}{2}\right)=2\sin\frac{3\pi}{2}+\cos 3\pi=-2-1=-3, $$
$$ f(2\pi)=2\sin 2\pi+\cos 4\pi=1. $$
Следовательно, наибольшее значение равно $$\frac32$$, а наименьшее — $$-3$$.
$$f(x)=2\cos x-\cos 2x,\quad x\in[0;\pi].$$
Найдём производную:
$$f'(x)=-2\sin x+2\sin 2x.$$
Стационарные точки:
$$ -2\sin x+2\sin 2x=0 $$
$$ -2\sin x+4\sin x\cos x=0 $$
$$ 2\sin x(2\cos x-1)=0. $$
Отсюда:
$$\sin x=0 \quad \text{или} \quad \cos x=\frac12.$$
На отрезке $$[0;\pi]$$ получаем точки:
$$x=0,\ \frac{\pi}{3},\ \pi.$$
Вычислим значения функции:
$$ f(0)=2\cos 0-\cos 0=1, $$
$$ f\!\left(\frac{\pi}{3}\right)=2\cos\frac{\pi}{3}-\cos\frac{2\pi}{3}=1+\frac12=\frac32, $$
$$ f(\pi)=2\cos\pi-\cos 2\pi=-2-1=-3. $$
Следовательно, наибольшее значение равно $$\frac32$$, а наименьшее — $$-3$$.