Упр.282 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

2) f(x) = х — корень х на отрезке [0; 4].

1. $$f(x)=x^2-\frac{1}{x}, \quad x \in [1;2].$$

   Найдём производную:

   $$f'(x)=2x+\frac{1}{x^2}=\frac{2x^3+1}{x^2}.$$

   На отрезке $$[1;2]$$ производная не обращается в нуль, так как уравнение

   $$2x^3+1=0$$

   имеет корень $$x=-\sqrt[3]{\frac{1}{2}},$$ который не принадлежит отрезку $$[1;2].$$

   Значит, на $$[1;2]$$ нужно проверить только концы отрезка:

   $$f(1)=1-\frac{1}{1}=0,$$

   $$f(2)=4-\frac{1}{2}=3{,}5.$$

   Следовательно, наименьшее значение равно $$0,$$ наибольшее — $$3{,}5.$$

2. $$f(x)=x-\sqrt{x}, \quad x \in [0;4].$$

   Найдём производную:

   $$f'(x)=1-\frac{1}{2\sqrt{x}}=\frac{2\sqrt{x}-1}{2\sqrt{x}}.$$

   Стационарная точка:

   $$2\sqrt{x}-1=0,$$

   $$\sqrt{x}=\frac{1}{2},$$

   $$x=\frac{1}{4}.$$

   Проверим значения функции в концах отрезка и в стационарной точке:

   $$f(0)=0-\sqrt{0}=0,$$

   $$f\left(\frac{1}{4}\right)=\frac{1}{4}-\frac{1}{2}=-\frac{1}{4},$$

   $$f(4)=4-\sqrt{4}=2.$$

   Следовательно, наименьшее значение равно $$-\frac{1}{4},$$ наибольшее — $$2.$$

Ответ

1) $$0$$ и $$3{,}5$$; 2) $$-\frac{1}{4}$$ и $$2$$.