Упр.281 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)
- 281. Найти наибольшее и наименьшее значения функции:
1) $$f(x)=x^3-6x^2+9$$ на отрезке $$[-1;2]$$;
2) $$f(x)=x^4-8x^2+3$$ на отрезке $$[-1;2]$$;
3) $$f(x)=2x^3+3x^2-36x$$ на отрезке $$[-2;1]$$;
4) $$f(x)=x^2+9x^2+15x$$ на отрезке $$[-3;-2]$$.
$$f(x)=x^3-6x^2+9,\quad x\in[-1;2]$$
Найдём производную:
$$f'(x)=3x^2-12x=3x(x-4)$$
Стационарные точки:
$$3x(x-4)=0 \Rightarrow x=0,\; x=4$$
На отрезке $$[-1;2]$$ лежит только точка $$x=0$$. Вычислим значения функции в концах отрезка и в стационарной точке:
$$f(-1)=(-1)^3-6(-1)^2+9=2$$
$$f(0)=0-0+9=9$$
$$f(2)=2^3-6\cdot 2^2+9=-7$$
Следовательно, наименьшее значение равно $$-7$$, наибольшее — $$9$$.
$$f(x)=x^4-8x^2+3,\quad x\in[-1;2]$$
Найдём производную:
$$f'(x)=4x^3-16x=4x(x^2-4)=4x(x-2)(x+2)$$
Стационарные точки:
$$4x(x-2)(x+2)=0 \Rightarrow x=-2,\;0,\;2$$
На отрезке $$[-1;2]$$ лежат точки $$x=0$$ и $$x=2$$. Вычислим значения функции:
$$f(-1)=(-1)^4-8(-1)^2+3=-4$$
$$f(0)=3$$
$$f(2)=2^4-8\cdot 2^2+3=-13$$
Значит, наименьшее значение равно $$-13$$, наибольшее — $$3$$.
$$f(x)=2x^3+3x^2-36x,\quad x\in[-2;1]$$
Найдём производную:
$$f'(x)=6x^2+6x-36=6(x^2+x-6)=6(x+3)(x-2)$$
Стационарные точки:
$$6(x+3)(x-2)=0 \Rightarrow x=-3,\;2$$
На отрезке $$[-2;1]$$ стационарных точек нет, поэтому достаточно вычислить значения на концах отрезка:
$$f(-2)=2(-2)^3+3(-2)^2-36(-2)=68$$
$$f(1)=2\cdot 1^3+3\cdot 1^2-36\cdot 1=-31$$
Следовательно, наименьшее значение равно $$-31$$, наибольшее — $$68$$.
$$f(x)=x^3+9x^2+15x,\quad x\in[-3;-2]$$
Найдём производную:
$$f'(x)=3x^2+18x+15=3(x^2+6x+5)=3(x+1)(x+5)$$
Стационарные точки:
$$3(x+1)(x+5)=0 \Rightarrow x=-1,\;-5$$
На отрезке $$[-3;-2]$$ стационарных точек нет, поэтому вычислим значения функции на концах отрезка:
$$f(-3)=(-3)^3+9(-3)^2+15(-3)=9$$
$$f(-2)=(-2)^3+9(-2)^2+15(-2)=-2$$
Значит, наименьшее значение равно $$-2$$, наибольшее — $$9$$.
Ответ
1) $$\min f(x)=-7,\ \max f(x)=9$$;
2) $$\min f(x)=-13,\ \max f(x)=3$$;
3) $$\min f(x)=-31,\ \max f(x)=68$$;
4) $$\min f(x)=-2,\ \max f(x)=9$$.
