Упр.280 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1) y=x3/2+x;
2) y=x5/5-x;
3) y=|x-5| (x-3)3;
4) y=(x-1)2/x+1.

1. $$y=\frac{x^3}{x+2}$$

   Найдём производную:
   $$y’=\frac{(x^3)'(x+2)-x^3(x+2)’}{(x+2)^2}=\frac{3x^2(x+2)-x^3}{(x+2)^2}=\frac{2x^3+6x^2}{(x+2)^2}=\frac{2x^2(x+3)}{(x+2)^2}.$$

   Критические точки:
   $$2x^2(x+3)=0 \Rightarrow x=0 \text{ или } x=-3.$$
   Знаменатель при $x\neq -2$ положителен, поэтому знак $y’$ определяется выражением $x+3$.
   При $x<-3$ имеем $y'<0$, при $x>-3$ — $y’>0$.

   Следовательно, в точке $x=-3$ функция имеет минимум.

2. $$y=\frac{x^5}{5-x}$$

   Найдём производную:
   $$y’=\frac{(x^5)'(5-x)-x^5(5-x)’}{(5-x)^2}=\frac{5x^4(5-x)+x^5}{(5-x)^2}=\frac{25x^4-4x^5}{(5-x)^2}=\frac{x^4(25-4x)}{(5-x)^2}.$$

   Критические точки:
   $$x^4(25-4x)=0 \Rightarrow x=0 \text{ или } x=\frac{25}{4}.$$
   Так как $(5-x)^2>0$ при $x\neq 5$, знак производной определяется множителем $25-4x$.
   При $x<\frac{25}{4}$ имеем $y’>0$, при $x>\frac{25}{4}$ — $y'<0$.

   Следовательно, в точке $x=\frac{25}{4}$ функция имеет максимум.

3. $$y=|x-5|(x-3)^3$$

   Рассмотрим два случая.

   1) Если $x\ge 5$, то
   $$y=(x-5)(x-3)^3,$$
   $$y’=(x-3)^3+(x-5)\cdot 3(x-3)^2=(x-3)^2(4x-18).$$

   2) Если $x<5$, то
   $$y=-(x-5)(x-3)^3,$$
   $$y’=-(x-3)^3-(x-5)\cdot 3(x-3)^2=-4(x-3)^2\left(x-\frac{9}{2}\right).$$

   В области $x<5$ производная обращается в нуль при $x=\frac{9}{2}$, и знак меняется с плюса на минус, значит это точка максимума.
   В точке $x=5$ функция меняет знак производной с минуса на плюс, значит это точка минимума.

4. $$y=\frac{(x-1)^2}{x+1}$$

   Область определения: $$x\neq -1.$$
   Найдём производную:
   $$y’=\frac{2(x-1)(x+1)-(x-1)^2}{(x+1)^2}=\frac{(x-1)(x+3)}{(x+1)^2}.$$

   Критические точки:
   $$ (x-1)(x+3)=0 \Rightarrow x=1 \text{ или } x=-3.$$
   Так как $(x+1)^2>0$ при $x\neq -1$, знак $y’$ определяется произведением $(x-1)(x+3)$.
   При $x<-3$ и $x>1$ производная положительна, а при $-3<x<1$ — отрицательна.

   Следовательно, $x=-3$ — точка максимума, $x=1$ — точка минимума.

Ответ

1) $x=-3$ — точка минимума;
2) $x=\frac{25}{4}$ — точка максимума;
3) $x=\frac{9}{2}$ — точка максимума, $x=5$ — точка минимума;
4) $x=-3$ — точка максимума, $x=1$ — точка минимума.