Упр.280 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Найти экстремумы функции:

1. $$y=\frac{x^3}{2}+x$$;
2. $$y=\frac{x^5}{5}-x$$;
3. $$y=|x-5|(x-3)^3$$;
4. $$y=\frac{(x-1)^2}{x}+1$$.

1. $$y=\frac{x^3}{x+2}$$

   Найдём производную:
   $$y’=\frac{(x^3)'(x+2)-x^3(x+2)’}{(x+2)^2}=\frac{3x^2(x+2)-x^3}{(x+2)^2}=\frac{2x^3+6x^2}{(x+2)^2}=\frac{2x^2(x+3)}{(x+2)^2}.$$

   Критические точки:
   $$2x^2(x+3)=0 \Rightarrow x=0 \text{ или } x=-3.$$
   Знаменатель при $$x\neq -2$$ положителен, поэтому знак $$y’$$ определяется выражением $$x+3$$.
   При $$x<-3$$ имеем $$y'<0$$, при $$x>-3$$ — $$y’>0$$.

   Следовательно, в точке $$x=-3$$ функция имеет минимум.

2. $$y=\frac{x^5}{5-x}$$

   Найдём производную:
   $$y’=\frac{(x^5)'(5-x)-x^5(5-x)’}{(5-x)^2}=\frac{5x^4(5-x)+x^5}{(5-x)^2}=\frac{25x^4-4x^5}{(5-x)^2}=\frac{x^4(25-4x)}{(5-x)^2}.$$

   Критические точки:
   $$x^4(25-4x)=0 \Rightarrow x=0 \text{ или } x=\frac{25}{4}.$$
   Так как $$(5-x)^2>0$$ при $$x\neq 5$$, знак производной определяется множителем $$25-4x$$.
   При $$x<\frac{25}{4}$$ имеем $$y’>0$$, при $$x>\frac{25}{4}$$ — $$y'<0$$.

   Следовательно, в точке $$x=\frac{25}{4}$$ функция имеет максимум.

3. $$y=|x-5|(x-3)^3$$

   Рассмотрим два случая.

   1) Если $$x\ge 5$$, то
   $$y=(x-5)(x-3)^3,$$
   $$y’=(x-3)^3+(x-5)\cdot 3(x-3)^2=(x-3)^2(4x-18).$$

   2) Если $$x<5$$, то
   $$y=-(x-5)(x-3)^3,$$
   $$y’=-(x-3)^3-(x-5)\cdot 3(x-3)^2=-4(x-3)^2\left(x-\frac{9}{2}\right).$$

   В области $$x<5$$ производная обращается в нуль при $$x=\frac{9}{2}$$, и знак меняется с плюса на минус, значит это точка максимума.
   В точке $$x=5$$ функция меняет знак производной с минуса на плюс, значит это точка минимума.

4. $$y=\frac{(x-1)^2}{x+1}$$

   Область определения: $$x\neq -1.$$
   Найдём производную:
   $$y’=\frac{2(x-1)(x+1)-(x-1)^2}{(x+1)^2}=\frac{(x-1)(x+3)}{(x+1)^2}.$$

   Критические точки:
   $$(x-1)(x+3)=0 \Rightarrow x=1 \text{ или } x=-3.$$
   Так как $$(x+1)^2>0$$ при $$x\neq -1$$, знак $$y’$$ определяется произведением $$(x-1)(x+3)$$.
   При $$x<-3$$ и $$x>1$$ производная положительна, а при $$-3<x<1$$ — отрицательна.

   Следовательно, $$x=-3$$ — точка максимума, $$x=1$$ — точка минимума.

Ответ

1) $$x=-3$$ — точка минимума;
2) $$x=\frac{25}{4}$$ — точка максимума;
3) $$x=\frac{9}{2}$$ — точка максимума, $$x=5$$ — точка минимума;
4) $$x=-3$$ — точка максимума, $$x=1$$ — точка минимума.