Упр.278 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

2) у = (х-1)6/7;
3) у = х — sin 2х;
4) у = cos 3х — 4х;
5) y = (x-1)4;
6) y =1-(x+1)6;
7) у = (х + 2)2(х — 3)2;
8) у = (х — 5)еx.

1. $$y=x+\sqrt{3-x}$$

   $$y’=1-\frac{1}{2\sqrt{3-x}}=\frac{2\sqrt{3-x}-1}{2\sqrt{3-x}}$$

   Критическая точка:

   $$2\sqrt{3-x}-1=0$$

   $$2\sqrt{3-x}=1$$

   $$3-x=\frac14$$

   $$x=\frac{11}{4}$$

   При $$x<\frac{11}{4}$$ производная положительна, при $$x>\frac{11}{4}$$ — отрицательна. Значит, в точке $$x=\frac{11}{4}$$ функция имеет максимум.

2. $$y=(x-1)^{\frac67}$$

   $$y’=\frac67(x-1)^{-\frac17}$$

   Производная не обращается в нуль, а в точке $$x=1$$ не существует. Знак производной не меняется, поэтому экстремумов нет.

3. $$y=x-\sin 2x$$

   $$y’=1-2\cos 2x$$

   Найдём критические точки:

   $$1-2\cos 2x=0$$

   $$\cos 2x=\frac12$$

   $$2x=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

   $$x=\pm \frac{\pi}{6}+\pi n$$

   При $$x=\frac{\pi}{6}+\pi n$$ производная меняет знак с «−» на «+», значит, это точки минимума. При $$x=-\frac{\pi}{6}+\pi n$$ — точки максимума.

4. $$y=\cos 3x-4x$$

   $$y’=-3\sin 3x-4$$

   Так как $$\sin 3x\in[-1;1]$$, то

   $$-3\sin 3x-4\in[-7;-1]$$

   Следовательно, $$y'<0$$ при всех $$x$$, функция всюду убывает и экстремумов не имеет.

5. $$y=(x-1)^4$$

   $$y’=4(x-1)^3$$

   $$y’=0 \iff x=1$$

   При $$x<1$$ производная отрицательна, при $$x>1$$ положительна. Значит, $$x=1$$ — точка минимума.

6. $$y=1-(x+1)^6$$

   $$y’=-6(x+1)^5$$

   $$y’=0 \iff x=-1$$

   При $$x<-1$$ производная положительна, при $$x>-1$$ отрицательна. Значит, $$x=-1$$ — точка максимума.

7. $$y=(x+2)^2(x-3)^3$$

   $$y’=2(x+2)(x-3)^3+3(x+2)^2(x-3)^2$$

   $$y’=(x+2)(x-3)^2\bigl(2(x-3)+3(x+2)\bigr)$$

   $$y’=(x+2)(x-3)^2\cdot 5x$$

   $$y’=0 \iff x=-2,\; x=0,\; x=3$$

   Так как $$ (x-3)^2\ge 0 $$, знак производной определяется произведением $$x(x+2)$$. Получаем: при переходе через $$x=-2$$ знак меняется с «+» на «−», а через $$x=0$$ — с «−» на «+». Точка $$x=3$$ экстремумом не является.

   Значит, $$x=-2$$ — точка максимума, $$x=0$$ — точка минимума.

8. $$y=(x-5)e^x$$

   $$y’=(x-5)e^x+e^x=e^x(x-4)$$

   Так как $$e^x>0$$ при всех $$x$$, знак производной определяется выражением $$x-4$$. Поэтому при $$x<4$$ функция убывает, при $$x>4$$ возрастает.

   Следовательно, $$x=4$$ — точка минимума.

Ответ

1) $$x=\frac{11}{4}$$ — точка максимума;

2) экстремумов нет;

3) $$x=\frac{\pi}{6}+\pi n$$ — точки минимума, $$x=-\frac{\pi}{6}+\pi n$$ — точки максимума, $$n\in\mathbb Z$$;

4) экстремумов нет;

5) $$x=1$$ — точка минимума;

6) $$x=-1$$ — точка максимума;

7) $$x=-2$$ — точка максимума, $$x=0$$ — точка минимума;

8) $$x=4$$ — точка минимума.