Упр.277 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1. 277. Найти точки экстремума функции:
   1) $$y=2x^2-20x+1$$;
   2) $$y=3x^2+36x-1$$;
   3) $$y=\frac{x}{5}+\frac{5}{x}$$;
   4) $$y=\frac{4}{x}+\frac{x}{16}$$;
   5) $$y=x^3-4x^2$$;
   6) $$y=x^4-8x^2+5$$;
   7) $$y=x+\sin x$$;
   8) $$y=6\sin x-\cos 2x$$.

1. $$y=2x^2-20x+1$$

   $$y’=4x-20$$

   $$4x-20=0,\quad x=5.$$

   Так как коэффициент при $$x^2$$ положительный, в точке $$x=5$$ функция имеет минимум.

2. $$y=3x^2+36x-1$$

   $$y’=6x+36$$

   $$6x+36=0,\quad x=-6.$$

   Так как коэффициент при $$x^2$$ положительный, в точке $$x=-6$$ функция имеет минимум.

3. $$y=\frac{x}{5}+\frac{5}{x},\quad x\ne 0$$

   $$y’=\frac15-\frac{5}{x^2}=\frac{x^2-25}{5x^2}$$

   $$x^2-25=0,\quad x=\pm 5.$$

   Знак производной меняется так: при $$x<-5$$ и $$x>5$$ $$y’>0$$, а при $$-5<x<0$$ и $$0<x<5$$ $$y'<0$$.

   Значит, в точке $$x=-5$$ — максимум, в точке $$x=5$$ — минимум.

4. $$y=\frac{4}{x}+\frac{x}{16},\quad x\ne 0$$

   $$y’=-\frac{4}{x^2}+\frac{1}{16}=\frac{x^2-64}{16x^2}$$

   $$x^2-64=0,\quad x=\pm 8.$$

   При $$x<-8$$ и $$x>8$$ $$y’>0$$, а при $$-8<x<0$$ и $$0<x<8$$ $$y'<0$$.

   Следовательно, в точке $$x=-8$$ — максимум, в точке $$x=8$$ — минимум.

5. $$y=x^3-4x^2$$

   $$y’=3x^2-8x=x(3x-8)$$

   $$x(3x-8)=0,\quad x=0,\quad x=\frac{8}{3}.$$

   Знак производной: $$y’>0$$ при $$x<0$$ и $$x>\frac{8}{3}$$, $$y'<0$$ при $$0<x<\frac{8}{3}$$.

   Значит, $$x=0$$ — точка максимума, $$x=\frac{8}{3}$$ — точка минимума.

6. $$y=x^4-8x^2+5$$

   $$y’=4x^3-16x=4x(x^2-4)=4x(x-2)(x+2)$$

   $$4x(x^2-4)=0,\quad x=-2,\ 0,\ 2.$$

   По знакам производной получаем: в точках $$x=-2$$ и $$x=2$$ — минимумы, в точке $$x=0$$ — максимум.

7. $$y=x+\sin x$$

   $$y’=1+\cos x$$

   Так как $$-1\le \cos x\le 1$$, то $$1+\cos x\ge 0$$ при всех $$x$$, причём равенство возможно только при $$x=\pi+2\pi n$$.

   Знак производной не меняется, поэтому экстремумов нет.

8. $$y=6\sin x-\cos 2x$$

   $$y’=6\cos x+2\sin 2x=6\cos x+4\sin x\cos x=2\cos x(3+2\sin x)$$

   $$2\cos x(3+2\sin x)=0.$$

   Уравнение $$3+2\sin x=0$$ решений не имеет, так как $$\sin x\in[-1,1]$$.

   Значит, $$y’=0$$ только при $$\cos x=0$$, то есть $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n$$.

   При $$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n$$ производная меняет знак с $$+$$ на $$-$$, а при $$x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n$$ — с $$-$$ на $$+$$.

   Следовательно, $$x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n$$ — точки минимума, $$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n$$ — точки максимума.

Ответ

1) $$x=5$$ — минимум;
2) $$x=-6$$ — минимум;
3) $$x=-5$$ — максимум, $$x=5$$ — минимум;
4) $$x=-8$$ — максимум, $$x=8$$ — минимум;
5) $$x=0$$ — максимум, $$x=\frac{8}{3}$$ — минимум;
6) $$x=-2$$ и $$x=2$$ — минимумы, $$x=0$$ — максимум;
7) экстремумов нет;
8) $$x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n$$ — минимумы, $$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n$$ — максимумы, $$n\in\mathbb{Z}$$.