Упр.276 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Задача

1) y = |x|/1+x2;
2) y= x3 — |x-1|;
3) у = 2х2-|х2- 1|;
4) y = 3х + |3х — х2|.

Подробный ответ

$$y=\frac{|x|}{1+x^2}$$
При $$x>0$$ имеем $$y=\frac{x}{1+x^2}$$, тогда
$$y’=\frac{(1+x^2)-x\cdot 2x}{(1+x^2)^2}=\frac{1-x^2}{(1+x^2)^2}.$$
При $$x<0$$ имеем $$y=-\frac{x}{1+x^2}$$, тогда
$$y’=\frac{-(1+x^2)+x\cdot 2x}{(1+x^2)^2}=\frac{x^2-1}{(1+x^2)^2}.$$
Производная не существует при $$x=0$$. Кроме того,
$$1-x^2=0 \Rightarrow x=\pm 1.$$
Критические точки: $$x=-1,\;0,\;1.$$
$$y=x^3-|x-1|$$
Если $$x\ge 1$$, то $$y=x^3-(x-1)=x^3-x+1$$, и
$$y’=3x^2-1.$$
Если $$x<1$$, то $$y=x^3+(x-1)=x^3+x-1$$, и
$$y’=3x^2+1.$$
Критические точки находим из уравнения $$3x^2-1=0$$:
$$x^2=\frac13,\quad x=\pm \frac{1}{\sqrt3}.$$
Из них условию $$x\ge 1$$ не удовлетворяет ни одно значение, а при $$x<1$$ производная $$3x^2+1$$ не обращается в нуль. Точка разрыва производной при $$x=1$$ тоже является критической.
Критическая точка: $$x=1.$$
$$y=2x^2-|x^2-1|$$
Если $$|x|\ge 1$$, то $$|x^2-1|=x^2-1$$ и
$$y=2x^2-(x^2-1)=x^2+1,\qquad y’=2x.$$
Если $$|x|<1$$, то $$|x^2-1|=1-x^2$$ и
$$y=2x^2-(1-x^2)=3x^2-1,\qquad y’=6x.$$
Производная равна нулю при $$x=0$$. Также производная не существует в точках смены модуля: $$x=\pm 1$$.
Критические точки: $$x=-1,\;0,\;1.$$
$$y=3x+|3x-x^2|$$
Так как $$3x-x^2=x(3-x)$$, то
если $$0\le x\le 3$$, то $$|3x-x^2|=3x-x^2$$ и
$$y=3x+(3x-x^2)=6x-x^2,\qquad y’=6-2x;$$
если $$x<0$$ или $$x>3$$, то $$|3x-x^2|=x^2-3x$$ и
$$y=3x+(x^2-3x)=x^2,\qquad y’=2x.$$
Критические точки:
$$6-2x=0 \Rightarrow x=3,$$
$$2x=0 \Rightarrow x=0.$$
Критические точки: $$x=0,\;3.$$