Упр.276 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1. Найти критические точки функции:
   а) $$y=\frac{|x|}{1+x^2}$$;
   б) $$y=x^3-|x-1|$$;
   в) $$y=2x^2-|x^2-1|$$;
   г) $$y=3x+|3x-x^2|$$.

1. $$y=\frac{|x|}{1+x^2}$$

   При $$x>0$$ имеем $$y=\frac{x}{1+x^2}$$, тогда

   $$y’=\frac{(1+x^2)-x\cdot 2x}{(1+x^2)^2}=\frac{1-x^2}{(1+x^2)^2}.$$

   При $$x<0$$ имеем $$y=-\frac{x}{1+x^2}$$, тогда

   $$y’=\frac{-(1+x^2)+x\cdot 2x}{(1+x^2)^2}=\frac{x^2-1}{(1+x^2)^2}.$$

   Производная не существует при $$x=0$$. Кроме того,

   $$1-x^2=0 \Rightarrow x=\pm 1.$$

   Критические точки: $$x=-1,\;0,\;1.$$

2. $$y=x^3-|x-1|$$

   Если $$x\ge 1$$, то $$y=x^3-(x-1)=x^3-x+1$$, и

   $$y’=3x^2-1.$$

   Если $$x<1$$, то $$y=x^3+(x-1)=x^3+x-1$$, и

   $$y’=3x^2+1.$$

   Критические точки находим из уравнения $$3x^2-1=0$$:

   $$x^2=\frac13,\quad x=\pm \frac{1}{\sqrt3}.$$

   Из них условию $$x\ge 1$$ не удовлетворяет ни одно значение, а при $$x<1$$ производная $$3x^2+1$$ не обращается в нуль. Точка разрыва производной при $$x=1$$ тоже является критической.

   Критическая точка: $$x=1.$$

3. $$y=2x^2-|x^2-1|$$

   Если $$|x|\ge 1$$, то $$|x^2-1|=x^2-1$$ и

   $$y=2x^2-(x^2-1)=x^2+1,\qquad y’=2x.$$

   Если $$|x|<1$$, то $$|x^2-1|=1-x^2$$ и

   $$y=2x^2-(1-x^2)=3x^2-1,\qquad y’=6x.$$

   Производная равна нулю при $$x=0$$. Также производная не существует в точках смены модуля: $$x=\pm 1$$.

   Критические точки: $$x=-1,\;0,\;1.$$

4. $$y=3x+|3x-x^2|$$

   Так как $$3x-x^2=x(3-x)$$, то

   если $$0\le x\le 3$$, то $$|3x-x^2|=3x-x^2$$ и

   $$y=3x+(3x-x^2)=6x-x^2,\qquad y’=6-2x;$$

   если $$x<0$$ или $$x>3$$, то $$|3x-x^2|=x^2-3x$$ и

   $$y=3x+(x^2-3x)=x^2,\qquad y’=2x.$$

   Критические точки:

   $$6-2x=0 \Rightarrow x=3,$$

   $$2x=0 \Rightarrow x=0.$$

   Критические точки: $$x=0,\;3.$$

Ответ

1) $$-1,\;0,\;1$$; 2) $$1$$; 3) $$-1,\;0,\;1$$; 4) $$0,\;3$$.