Упр.274 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1) ln(1+х) < х; 2) ln(1+x) > x/x+1.

1) Рассмотрим функцию $$y=\ln(1+x)-x.$$

Её производная:

$$y’=\frac{1}{1+x}-1=\frac{1-(1+x)}{1+x}=-\frac{x}{1+x}.$$

При $$x>0$$ имеем $$1+x>0$$ и $$x>0$$, значит

$$y’=-\frac{x}{1+x}<0.$$

Следовательно, функция $$y=\ln(1+x)-x$$ убывает при $$x>0$$. Так как

$$y(0)=\ln(1+0)-0=0,$$

то при $$x>0$$

$$\ln(1+x)-x<0,$$

то есть

$$\ln(1+x)<x.$$

2) Рассмотрим функцию $$y=\ln(1+x)-\frac{x}{x+1}.$$

Её производная:

$$y’=\frac{1}{1+x}-\left(\frac{x}{x+1}\right)’=\frac{1}{1+x}-\frac{(x+1)-x}{(x+1)^2}.$$

Тогда

$$y’=\frac{1}{x+1}-\frac{1}{(x+1)^2}=\frac{x}{(x+1)^2}.$$

При $$x>0$$ имеем $$\frac{x}{(x+1)^2}>0,$$ значит функция возрастает при $$x>0$$. Кроме того,

$$y(0)=\ln(1+0)-\frac{0}{0+1}=0.$$

Следовательно, при $$x>0$$

$$\ln(1+x)-\frac{x}{x+1}>0,$$

то есть

$$\ln(1+x)>\frac{x}{x+1}.$$

Ответ

$$\ln(1+x)<x,\qquad \ln(1+x)>\frac{x}{x+1}\quad \text{при } x>0.$$