Упр.273 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1. Доказать, что функция $$y=\sqrt{6+x-x^2}$$ возрастает на отрезке $$\left[-2;\frac{1}{2}\right]$$ и убывает на отрезке $$\left[\frac{1}{2};3\right]$$.

Найдём область определения функции:

$$6+x-x^2\ge 0$$

$$x^2-x-6\le 0$$

$$\left(x-3\right)\left(x+2\right)\le 0$$

Отсюда

$$x\in[-2;3].$$

Найдём производную:

$$y=\sqrt{6+x-x^2}$$

$$y’=\frac{1}{2\sqrt{6+x-x^2}}\cdot(1-2x)=\frac{1-2x}{2\sqrt{6+x-x^2}}.$$

На области определения знаменатель положителен, поэтому знак производной определяется числителем $$1-2x.$$

Если $$x<\frac12,$$ то $$1-2x>0,$$ значит, функция возрастает.

Если $$x>\frac12,$$ то $$1-2x<0,$$ значит, функция убывает.

С учётом области определения получаем: на отрезке $$[-2;\frac12]$$ функция возрастает, а на отрезке $$[\frac12;3]$$ убывает.

Ответ

Функция возрастает на $$[-2;\frac12]$$ и убывает на $$[\frac12;3].$$