Упр.272 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

При каких значениях $$a$$ функция возрастает на всей числовой прямой:

1) $$y=x^3-ax$$;

2) $$y=ax-\sin x$$?

1) $$y=x^3-ax$$

Найдём производную:

$$y’=3x^2-a$$

Чтобы функция возрастала на всей числовой прямой, нужно, чтобы

$$3x^2-a\ge 0$$

при всех $$x$$. Так как $$3x^2\ge 0$$ для любого $$x$$, наименьшее значение выражения $$3x^2-a$$ достигается при $$x=0$$. Тогда

$$-a\ge 0$$

$$a\le 0$$

Значит,

$$a\in(-\infty;0]$$

2) $$y=ax-\sin x$$

Найдём производную:

$$y’=a-\cos x$$

Для возрастания на всей числовой прямой требуется

$$a-\cos x\ge 0$$

при всех $$x$$. Так как $$\cos x\in[-1;1]$$, наибольшее значение $$\cos x$$ равно $$1$$. Поэтому должно выполняться

$$a-1\ge 0$$

$$a\ge 1$$

Следовательно,

$$a\in[1;+\infty)$$

Ответ

1) $$a\in(-\infty;0]$$; 2) $$a\in[1;+\infty)$$.