Упр.270 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)
- $$y=\frac{x^3}{x^2+3}$$
- $$y=(x-1)^3(2x+3)^2$$
- $$y=(x-1)e^{3x}$$
- $$y=xe^{-3x}$$
$$y=\frac{x^3}{x^2+3}$$
Найдём производную:
$$y’=\frac{(x^3)'(x^2+3)-x^3(x^2+3)’}{(x^2+3)^2} =\frac{3x^2(x^2+3)-x^3\cdot 2x}{(x^2+3)^2} =\frac{x^4+9x^2}{(x^2+3)^2}.$$
Так как $$x^4+9x^2\ge 0$$ при всех $$x$$, а $$(x^2+3)^2>0$$ при всех $$x$$, то $$y’\ge 0$$ на всей области определения.
Следовательно, функция возрастает на $$(-\infty;+\infty)$$.
$$y=(x-1)^3(2x+3)^2$$
Найдём производную:
$$y’=(x-1)^3\cdot (2x+3)^2{}’ + (x-1)^3{}’\cdot (2x+3)^2$$
$$y’=(x-1)^3\cdot 2(2x+3)\cdot 2 + 3(x-1)^2(2x+3)^2$$
$$y’=(x-1)^2(2x+3)(10x+5).$$
Критические точки: $$x=1,\; x=-\frac32,\; x=-\frac12.$$
Знак производной определяется множителями $$2x+3$$ и $$10x+5$$:
$$y’>0$$ на $$(-\infty;-\frac32)\cup(-\frac12;+\infty),$$
$$y'<0$$ на $$(-\frac32;-\frac12).$$Следовательно, функция возрастает на $$(-\infty;-\frac32]\cup[-\frac12;+\infty)$$ и убывает на $$[-\frac32;-\frac12]$$.
$$y=(x-1)e^{3x}$$
Найдём производную:
$$y’=(x-1)’e^{3x}+(x-1)(e^{3x})’ =e^{3x}+3(x-1)e^{3x} =e^{3x}(3x-2).$$
Так как $$e^{3x}>0$$ при всех $$x$$, то знак $$y’$$ определяется выражением $$3x-2$$.
$$y'<0$$ при $$x<\frac23,$$
$$y’=0$$ при $$x=\frac23,$$
$$y’>0$$ при $$x>\frac23.$$Следовательно, функция убывает на $$(-\infty;\frac23]$$ и возрастает на $$[\frac23;+\infty)$$.
$$y=xe^{-3x}$$
Найдём производную:
$$y’=x’e^{-3x}+x(e^{-3x})’ =e^{-3x}-3xe^{-3x} =e^{-3x}(1-3x).$$
Так как $$e^{-3x}>0$$ при всех $$x$$, то знак $$y’$$ определяется выражением $$1-3x$$.
$$y’>0$$ при $$x<\frac13,$$
$$y’=0$$ при $$x=\frac13,$$
$$y'<0$$ при $$x>\frac13.$$Следовательно, функция возрастает на $$(-\infty;\frac13]$$ и убывает на $$[\frac13;+\infty)$$.
Ответ
1) возрастает на $$(-\infty;+\infty)$$;
2) возрастает на $$(-\infty;-\frac32]\cup[-\frac12;+\infty)$$, убывает на $$[-\frac32;-\frac12]$$;
3) убывает на $$(-\infty;\frac23]$$, возрастает на $$[\frac23;+\infty)$$;
4) возрастает на $$(-\infty;\frac13]$$, убывает на $$[\frac13;+\infty)$$.
