Упр.27 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Пусть функция $$f(x)$$ определена на всей числовой прямой. Доказать, что:
1) $$f(x)+f(-x)$$ — чётная функция;
2) $$f(x)-f(-x)$$ — нечётная функция.

Обозначим:

$$F(x)=f(x)+f(-x).$$

Тогда

$$F(-x)=f(-x)+f(-(-x))=f(-x)+f(x)=f(x)+f(-x)=F(x).$$

Следовательно, функция $$F(x)$$ чётная.

Теперь рассмотрим функцию

$$G(x)=f(x)-f(-x).$$

Тогда

$$G(-x)=f(-x)-f(-(-x))=f(-x)-f(x)=-(f(x)-f(-x))=-G(x).$$

Следовательно, функция $$G(x)$$ нечётная.

Ответ

$$f(x)+f(-x)$$ — чётная функция, $$f(x)-f(-x)$$ — нечётная функция.