Упр.268 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)
2) у = 2х-х2;
3) у = х3- 3х;
4) у = х4- 2х2.
$$y=x^2-3x+4$$
Найдём производную:
$$y’=2x-3$$
Критическая точка:
$$2x-3=0,\quad x=\frac{3}{2}$$
Так как $$y’>0$$ при $$x>\frac{3}{2}$$, функция возрастает на $$\left[\frac{3}{2};+\infty\right)$$.
Так как $$y'<0$$ при $$x<\frac{3}{2}$$, функция убывает на $$\left(-\infty;\frac{3}{2}\right]$$.
$$y=2x-x^2$$
Найдём производную:
$$y’=2-2x$$
Критическая точка:
$$2-2x=0,\quad x=1$$
Так как $$y’>0$$ при $$x<1$$, функция возрастает на $$(-\infty;1]$$.
Так как $$y'<0$$ при $$x>1$$, функция убывает на $$[1;+\infty)$$.
$$y=x^3-3x$$
Найдём производную:
$$y’=3x^2-3=3(x^2-1)=3(x-1)(x+1)$$
Критические точки:
$$3x^2-3=0,\quad x=\pm1$$
Знак производной:
$$y’>0 \text{ при } x\in(-\infty;-1)\cup(1;+\infty),$$
$$y'<0 \text{ при } x\in(-1;1).$$
Следовательно, функция возрастает на $$(-\infty;-1]\cup[1;+\infty)$$ и убывает на $$[-1;1]$$.
$$y=x^4-2x^2$$
Найдём производную:
$$y’=4x^3-4x=4x(x^2-1)=4x(x-1)(x+1)$$
Критические точки:
$$4x(x^2-1)=0,\quad x=-1,\;0,\;1$$
Исследуем знак производной:
$$y’>0 \text{ при } x\in(-1;0)\cup(1;+\infty),$$
$$y'<0 \text{ при } x\in(-\infty;-1)\cup(0;1).$$
Значит, функция возрастает на $$[-1;0]\cup[1;+\infty)$$ и убывает на $$(-\infty;-1]\cup[0;1]$$.
Ответ
1) возрастает на $$\left[\frac{3}{2};+\infty\right)$$, убывает на $$\left(-\infty;\frac{3}{2}\right]$$;
2) возрастает на $$(-\infty;1]$$, убывает на $$[1;+\infty)$$;
3) возрастает на $$(-\infty;-1]\cup[1;+\infty)$$, убывает на $$[-1;1]$$;
4) возрастает на $$[-1;0]\cup[1;+\infty)$$, убывает на $$(-\infty;-1]\cup[0;1]$$.
