Упр.267 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

267. Найти промежутки возрастания и убывания функции:
     1) $$y=5x^2-3x-1$$;
     2) $$y=x^2-10x+11$$;
     3) $$y=2x^3+3x^2-4$$;
     4) $$y=2x^3+3x^2-36x+40$$.

1. $$y=5x^2-3x-1$$

   Найдём производную:

   $$y’=10x-3$$

   Критическая точка:

   $$10x-3=0,\quad x=0{,}3$$

   Так как $$y'<0$$ при $$x<0{,}3$$ и $$y’>0$$ при $$x>0{,}3$$, то функция убывает и затем возрастает.

   $$\text{Возрастает на }[0{,}3;+\infty),\quad \text{убывает на }(-\infty;0{,}3]$$

2. $$y=x^2-10x+11$$

   Найдём производную:

   $$y’=2x-10$$

   Критическая точка:

   $$2x-10=0,\quad x=5$$

   Так как $$y'<0$$ при $$x<5$$ и $$y’>0$$ при $$x>5$$, то

   $$\text{возрастает на }[5;+\infty),\quad \text{убывает на }(-\infty;5]$$

3. $$y=2x^3+3x^2-4$$

   Найдём производную:

   $$y’=6x^2+6x=6x(x+1)$$

   Критические точки:

   $$6x(x+1)=0,\quad x=-1,\; x=0$$

   Знак производной:

   $$y’>0 \text{ при } x<-1 \text{ и } x>0,\qquad y'<0 \text{ при } -1<x<0$$

   Следовательно,

   $$\text{возрастает на }(-\infty;-1]\cup[0;+\infty),\quad \text{убывает на }[-1;0]$$

4. $$y=2x^3+3x^2-36x+40$$

   Найдём производную:

   $$y’=6x^2+6x-36=6(x^2+x-6)=6(x+3)(x-2)$$

   Критические точки:

   $$x=-3,\quad x=2$$

   Знак производной:

   $$y’>0 \text{ при } x<-3 \text{ и } x>2,\qquad y'<0 \text{ при } -3<x<2$$

   Значит,

   $$\text{возрастает на }(-\infty;-3]\cup[2;+\infty),\quad \text{убывает на }[-3;2]$$

Ответ

1) возрастает на $$[0{,}3;+\infty)$$, убывает на $$(-\infty;0{,}3]$$;

2) возрастает на $$[5;+\infty)$$, убывает на $$(-\infty;5]$$;

3) возрастает на $$(-\infty;-1]\cup[0;+\infty)$$, убывает на $$[-1;0]$$;

4) возрастает на $$(-\infty;-3]\cup[2;+\infty)$$, убывает на $$[-3;2]$$.