Упр.265 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 11 класс, Просвещение: 265. Поршень сжимает воздух, находящийся в цилиндре, таким образом, что давление увеличивается со скоростью 800 Па/с, а его объём уменьшается со скоростью 2 * 10^-5 м3/с. С какой скоростью изменяется температура воздуха Т в тот момент, когда давление равно 1,6 * 10^5 Па, объём равен 0,01 м8, а температура равна 400°К? (Воздух в расчётах считать идеальным газом.)

Для идеального газа выполняется уравнение состояния:

$$pV=kT,$$

где $$k$$ — постоянная.

Найдём $$k$$ по данным в данный момент:

$$k=\frac{pV}{T}=\frac{1{,}6\cdot 10^5\cdot 0{,}01}{400}=\frac{1600}{400}=4.$$

Тогда

$$T=\frac{1}{4}pV.$$

Дифференцируем по времени:

$$T’=\frac{1}{4}(p’V+pV’).$$

Подставим значения:

$$T’=\frac{1}{4}\left(800\cdot 0{,}01+1{,}6\cdot 10^5\cdot(-2\cdot 10^{-5})\right).$$

Вычислим:

$$800\cdot 0{,}01=8,$$

$$1{,}6\cdot 10^5\cdot(-2\cdot 10^{-5})=-3{,}2.$$

Тогда

$$T’=\frac{1}{4}(8-3{,}2)=\frac{4{,}8}{4}=1{,}2.$$

Значит, температура воздуха увеличивается со скоростью $$1{,}2$$ К/с.

Ответ

$$1{,}2\ \text{К/с}$$