Упр.265 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1. Поршень сжимает воздух, находящийся в цилиндре, таким образом, что давление увеличивается со скоростью $$800\ \text{Па/с}$$, а его объём уменьшается со скоростью $$2\cdot10^{-5}\ \text{м}^3/\text{с}$$. С какой скоростью изменяется температура воздуха $$T$$ в тот момент, когда давление равно $$1{,}6\cdot10^5\ \text{Па}$$, объём равен $$0{,}01\ \text{м}^3$$, а температура равна $$400^\circ\text{К}$$? Воздух в расчётах считать идеальным газом.

Для идеального газа выполняется уравнение состояния:

$$pV=kT,$$

где $$k$$ — постоянная.

Найдём $$k$$ по данным в данный момент:

$$k=\frac{pV}{T}=\frac{1{,}6\cdot 10^5\cdot 0{,}01}{400}=\frac{1600}{400}=4.$$

Тогда

$$T=\frac{1}{4}pV.$$

Дифференцируем по времени:

$$T’=\frac{1}{4}(p’V+pV’).$$

Подставим значения:

$$T’=\frac{1}{4}\left(800\cdot 0{,}01+1{,}6\cdot 10^5\cdot(-2\cdot 10^{-5})\right).$$

Вычислим:

$$800\cdot 0{,}01=8,$$

$$1{,}6\cdot 10^5\cdot(-2\cdot 10^{-5})=-3{,}2.$$

Тогда

$$T’=\frac{1}{4}(8-3{,}2)=\frac{4{,}8}{4}=1{,}2.$$

Значит, температура воздуха увеличивается со скоростью $$1{,}2$$ К/с.

Ответ

$$1{,}2\ \text{К/с}$$