Упр.264 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Прямая касается гиперболы $$y=\frac{k}{x}$$, где $$k>0$$, в точке с абсциссой $$x_0$$. Доказать, что:

1. площадь треугольника, ограниченного этой касательной и осями координат, не зависит от положения точки касания; найти эту площадь;
2. эта касательная проходит через точки $$\left(x_0;\frac{k}{x_0}\right)$$ и $$\left(2x_0;0\right)$$.

Найдём уравнение касательной к графику функции $$y=\frac{k}{x}$$ в точке с абсциссой $$x_0$$.

Производная:

$$y’=-\frac{k}{x^2}, \qquad y'(x_0)=-\frac{k}{x_0^2}.$$

Уравнение касательной:

$$y-\frac{k}{x_0}=-\frac{k}{x_0^2}(x-x_0).$$

Преобразуем:

$$y=\frac{k}{x_0}-\frac{k}{x_0^2}x+\frac{k}{x_0} = \frac{2k}{x_0}-\frac{k}{x_0^2}x.$$

1) Найдём точки пересечения касательной с осями координат.

При $$x=0$$:

$$y=\frac{2k}{x_0}.$$

При $$y=0$$:

$$\frac{2k}{x_0}-\frac{k}{x_0^2}x=0 \quad \Rightarrow \quad x=2x_0.$$

Значит, катеты треугольника равны $$\frac{2k}{x_0}$$ и $$2x_0$$, поэтому его площадь:

$$S=\frac12 \cdot 2x_0 \cdot \frac{2k}{x_0}=2k.$$

Площадь не зависит от положения точки касания.

2) Проверим, что касательная проходит через точки $$\left(x_0;\frac{k}{x_0}\right)$$ и $$\left(2x_0;0\right)$$.

Подставим $$x=x_0$$:

$$y=\frac{2k}{x_0}-\frac{k}{x_0^2}\cdot x_0 =\frac{2k}{x_0}-\frac{k}{x_0} =\frac{k}{x_0}.$$

Подставим $$x=2x_0$$:

$$y=\frac{2k}{x_0}-\frac{k}{x_0^2}\cdot 2x_0 =\frac{2k}{x_0}-\frac{2k}{x_0}=0.$$

Ответ

$$S=2k.$$