Упр.263 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Найти площадь треугольника, ограниченного этой касательной и осями координат.

Найдём уравнение касательной к графику функции $$y=\frac{4}{x}$$ в точке $$\left(1;4\right).$$

Производная:

$$y’=\left(\frac{4}{x}\right)’=-\frac{4}{x^2}.$$

Угловой коэффициент касательной в точке $$x=1$$:

$$y'(1)=-\frac{4}{1^2}=-4.$$

Тогда уравнение касательной:

$$y-4=-4(x-1),$$

откуда

$$y=8-4x.$$

Найдём точки пересечения с осями координат:

при $$x=0$$ получаем $$y=8,$$ значит, точка пересечения с осью $$Oy$$ — $$\left(0;8\right);$$

при $$y=0$$:

$$8-4x=0,$$

$$x=2,$$

значит, точка пересечения с осью $$Ox$$ — $$\left(2;0\right).$$

Площадь треугольника с катетами $$8$$ и $$2$$:

$$S=\frac12\cdot 8\cdot 2=8.$$

Ответ

$$8$$