Упр.262 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1. Найти уравнения касательных к графику функции $$y=\frac{1}{3}x2-\frac{5}{2}x2$$, параллельных прямой $$y=6x$$.

Найдём касательные к графику функции $$y=\frac13x^3-\frac52x^2,$$ параллельные прямой $$y=6x.$$

Если касательная параллельна прямой $$y=6x,$$ то её угловой коэффициент равен $$6.$$ Значит, нужно решить уравнение

$$y'(x)=6.$$

Найдём производную:

$$y’=\left(\frac13x^3-\frac52x^2\right)’=x^2-5x.$$

Тогда

$$x^2-5x=6,$$

$$x^2-5x-6=0,$$

$$D=25+24=49,$$

$$x_{1,2}=\frac{5\pm 7}{2}.$$

Получаем:

$$x_1=-1,\qquad x_2=6.$$

Найдём ординаты точек касания.

При $$x=-1$$:

$$y(-1)=\frac13(-1)^3-\frac52(-1)^2=-\frac13-\frac52=-\frac{17}{6}.$$

Уравнение касательной:

$$y+\frac{17}{6}=6(x+1),$$

$$y=6x+\frac{19}{6}.$$

При $$x=6$$:

$$y(6)=\frac13\cdot 6^3-\frac52\cdot 6^2=72-90=-18.$$

Уравнение касательной:

$$y+18=6(x-6),$$

$$y=6x-54.$$

Ответ

$$y=6x+\frac{19}{6},\qquad y=6x-54.$$