Упр.260 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1) у = 2sinx/2, x0 = 3пи/2;
2) у = 2х-22х, х0 = 2;
3) y = x+3/2-x, x0 = 2;
4) у = х + lnx, х0 = е;
5) y = ex2-1, х0= 1;
6) y= sin(пиx2), х0=1.

1. $$y=2\sin\frac{x}{2}, \quad x_0=\frac{3\pi}{2}.$$

   $$y\left(\frac{3\pi}{2}\right)=2\sin\frac{3\pi}{4}=\sqrt{2}.$$

   $$y'(x)=2\cdot \frac12 \cos\frac{x}{2}=\cos\frac{x}{2},$$

   $$y’\left(\frac{3\pi}{2}\right)=\cos\frac{3\pi}{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}.$$

   Уравнение касательной:

   $$y-\sqrt{2}=-\frac{\sqrt{2}}{2}\left(x-\frac{3\pi}{2}\right).$$

   $$y=-\frac{\sqrt{2}}{2}x+\sqrt{2}+\frac{3\pi\sqrt{2}}{4}.$$

2. $$y=2^{-x}-2^{-2x}, \quad x_0=2.$$

   $$y(2)=2^{-2}-2^{-4}=\frac14-\frac1{16}=\frac3{16}.$$

   $$y'(x)=-2^{-x}\ln 2+2\cdot 2^{-2x}\ln 2=\ln 2\,(2\cdot 2^{-2x}-2^{-x}).$$

   $$y'(2)=\ln 2\left(2\cdot 2^{-4}-2^{-2}\right)=\ln 2\left(\frac18-\frac14\right)=-\frac18\ln 2.$$

   $$y-\frac3{16}=-\frac18\ln 2\,(x-2).$$

   $$y=-\frac18\ln 2\cdot x+\frac14\ln 2+\frac3{16}.$$

3. $$y=\frac{x+3}{2-x}, \quad x_0=2.$$

   При $$x=2$$ знаменатель равен нулю, значит функция в этой точке не определена, поэтому касательная не существует.

4. $$y=x+\ln x, \quad x_0=e.$$

   $$y(e)=e+\ln e=e+1.$$

   $$y'(x)=1+\frac1x,\qquad y'(e)=1+\frac1e.$$

   $$y-(e+1)=\left(1+\frac1e\right)(x-e).$$

   $$y=\left(1+\frac1e\right)x.$$

5. $$y=e^{x^2-1}, \quad x_0=1.$$

   $$y(1)=e^{1-1}=e^0=1.$$

   $$y'(x)=2x\,e^{x^2-1},\qquad y'(1)=2\cdot 1\cdot e^0=2.$$

   $$y-1=2(x-1).$$

   $$y=2x-1.$$

6. $$y=\sin(\pi x^2), \quad x_0=1.$$

   $$y(1)=\sin\pi=0.$$

   $$y'(x)=2\pi x\cos(\pi x^2),\qquad y'(1)=2\pi\cos\pi=-2\pi.$$

   $$y=-2\pi(x-1).$$

   $$y=2\pi-2\pi x.$$

Ответ

1. $$y=-\frac{\sqrt{2}}{2}x+\sqrt{2}+\frac{3\pi\sqrt{2}}{4}.$$
2. $$y=-\frac18\ln 2\cdot x+\frac14\ln 2+\frac3{16}.$$
3. Касательная не существует.
4. $$y=\left(1+\frac1e\right)x.$$
5. $$y=2x-1.$$
6. $$y=2\pi-2\pi x.$$