Упр.260 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)
Написать уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой $$x_0$$, если:
- $$y=2\sin\frac{x}{2},\quad x_0=\frac{3\pi}{2};$$
$$y=2^x-2^{2-x},\quad x_0=2;$$
$$y=\frac{x+3}{2-x},\quad x_0=2;$$
$$y=x+\ln x,\quad x_0=e;$$
$$y=e^{x^2-1},\quad x_0=1;$$
$$y=\sin(\pi x^2),\quad x_0=1.$$
$$y=2\sin\frac{x}{2}, \quad x_0=\frac{3\pi}{2}.$$
$$y\left(\frac{3\pi}{2}\right)=2\sin\frac{3\pi}{4}=\sqrt{2}.$$
$$y'(x)=2\cdot \frac12 \cos\frac{x}{2}=\cos\frac{x}{2},$$
$$y’\left(\frac{3\pi}{2}\right)=\cos\frac{3\pi}{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}.$$
Уравнение касательной:
$$y-\sqrt{2}=-\frac{\sqrt{2}}{2}\left(x-\frac{3\pi}{2}\right).$$
$$y=-\frac{\sqrt{2}}{2}x+\sqrt{2}+\frac{3\pi\sqrt{2}}{4}.$$
$$y=2^{-x}-2^{-2x}, \quad x_0=2.$$
$$y(2)=2^{-2}-2^{-4}=\frac14-\frac1{16}=\frac3{16}.$$
$$y'(x)=-2^{-x}\ln 2+2\cdot 2^{-2x}\ln 2=\ln 2\,(2\cdot 2^{-2x}-2^{-x}).$$
$$y'(2)=\ln 2\left(2\cdot 2^{-4}-2^{-2}\right)=\ln 2\left(\frac18-\frac14\right)=-\frac18\ln 2.$$
$$y-\frac3{16}=-\frac18\ln 2\,(x-2).$$
$$y=-\frac18\ln 2\cdot x+\frac14\ln 2+\frac3{16}.$$
$$y=\frac{x+3}{2-x}, \quad x_0=2.$$
При $$x=2$$ знаменатель равен нулю, значит функция в этой точке не определена, поэтому касательная не существует.
$$y=x+\ln x, \quad x_0=e.$$
$$y(e)=e+\ln e=e+1.$$
$$y'(x)=1+\frac1x,\qquad y'(e)=1+\frac1e.$$
$$y-(e+1)=\left(1+\frac1e\right)(x-e).$$
$$y=\left(1+\frac1e\right)x.$$
$$y=e^{x^2-1}, \quad x_0=1.$$
$$y(1)=e^{1-1}=e^0=1.$$
$$y'(x)=2x\,e^{x^2-1},\qquad y'(1)=2\cdot 1\cdot e^0=2.$$
$$y-1=2(x-1).$$
$$y=2x-1.$$
$$y=\sin(\pi x^2), \quad x_0=1.$$
$$y(1)=\sin\pi=0.$$
$$y'(x)=2\pi x\cos(\pi x^2),\qquad y'(1)=2\pi\cos\pi=-2\pi.$$
$$y=-2\pi(x-1).$$
$$y=2\pi-2\pi x.$$
Ответ
- $$y=-\frac{\sqrt{2}}{2}x+\sqrt{2}+\frac{3\pi\sqrt{2}}{4}.$$
- $$y=-\frac18\ln 2\cdot x+\frac14\ln 2+\frac3{16}.$$
- Касательная не существует.
- $$y=\left(1+\frac1e\right)x.$$
- $$y=2x-1.$$
- $$y=2\pi-2\pi x.$$
