Упр.26 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 11 класс, Просвещение: 26 Доказать, что функция у = f(x) является периодической, если существует Т =/ 0 такое, что для любых трёх значений х, х + Т и х-Т из области определения функции выполнено условие f(х + Т) = -f(x). Найти период функции f. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 11 kolyagin11 26 118

Пусть $$T \ne 0$$ и для любых значений $$x$$, $$x+T$$ и $$x-T$$ из области определения функции выполнено

$$f(x+T)=-f(x).$$

Тогда

$$f(x+2T)=-f(x+T)=-(-f(x))=f(x).$$

Значит, для любого допустимого $$x$$

$$f(x+2T)=f(x),$$

то есть функция периодическая с периодом $$2T$$.

Проверим также сдвиг в обратную сторону:

$$f(x-2T)=f((x-T)-T)=-f(x-T)=-(-f(x))=f(x).$$

Следовательно, $$2T$$ — период функции.

Ответ

$$2T$$