Упр.259 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1) У= 2 корень x и у= 2 корень 6 — х;
2) у = корень 2х + 1 и у= 1.

1. Для графиков $$y=2\sqrt{x}$$ и $$y=2\sqrt{6-x}$$ найдём точку пересечения:

   $$ 2\sqrt{x}=2\sqrt{6-x} $$
   $$ \sqrt{x}=\sqrt{6-x} $$
   $$ x=6-x $$
   $$ 2x=6,\quad x=3 $$

   Точка пересечения существует при $$x>0$$ и $$6-x>0$$, значит $$x=3$$ подходит.

   Найдём производные:

   $$ y_1’= (2\sqrt{x})’=\frac{1}{\sqrt{x}},\qquad y_2’= (2\sqrt{6-x})’=-\frac{1}{\sqrt{6-x}} $$

   В точке $$x=3$$:

   $$ y_1′(3)=\frac{1}{\sqrt{3}},\qquad y_2′(3)=-\frac{1}{\sqrt{3}} $$

   Угол между касательными равен разности их углов наклона:

   $$ \tan \varphi=\left|\frac{m_1-m_2}{1+m_1m_2}\right| = \left|\frac{\frac{1}{\sqrt{3}}- \left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)}{1+\frac{1}{\sqrt{3}}\cdot\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)}\right| = \frac{2/\sqrt{3}}{1-\frac{1}{3}} = \frac{2/\sqrt{3}}{2/3} = \sqrt{3} $$

   Значит,
   $$ \varphi=\frac{\pi}{3}. $$

2. Для графиков $$y=\sqrt{2x+1}$$ и $$y=1$$ найдём точку пересечения:

   $$ \sqrt{2x+1}=1 $$
   $$ 2x+1=1 $$
   $$ 2x=0,\quad x=0 $$

   Область определения: $$2x+1>0$$, то есть $$x>-\frac12$$. Точка $$x=0$$ подходит.

   Найдём производные:

   $$ y_1’=\left(\sqrt{2x+1}\right)’=\frac{1}{\sqrt{2x+1}},\qquad y_2’=(1)’=0 $$

   В точке $$x=0$$:

   $$ y_1′(0)=1,\qquad y_2′(0)=0 $$

   Тогда

   $$ \tan \varphi=\left|\frac{1-0}{1+1\cdot 0}\right|=1 $$
   $$ \varphi=\frac{\pi}{4} $$

Ответ

1) $$\frac{\pi}{3}$$; 2) $$\frac{\pi}{4}$$.