Упр.259 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1. Определить, под каким углом пересекаются графики функций (углом между кривыми называется угол между касательными к кривым в точке их пересечения): 1) $$y=2\sqrt{x}$$ и $$y=2\sqrt{6-x}$$; 2) $$y=\sqrt{2x+1}$$ и $$y=1$$.

1. Для графиков $$y=2\sqrt{x}$$ и $$y=2\sqrt{6-x}$$ найдём точку пересечения:

   $$2\sqrt{x}=2\sqrt{6-x}$$
   $$\sqrt{x}=\sqrt{6-x}$$
   $$x=6-x$$
   $$2x=6,\quad x=3$$

   Точка пересечения существует при $$x>0$$ и $$6-x>0$$, значит $$x=3$$ подходит.

   Найдём производные:

   $$y_1’= (2\sqrt{x})’=\frac{1}{\sqrt{x}},\qquad y_2’= (2\sqrt{6-x})’=-\frac{1}{\sqrt{6-x}}$$

   В точке $$x=3$$:

   $$y_1′(3)=\frac{1}{\sqrt{3}},\qquad y_2′(3)=-\frac{1}{\sqrt{3}}$$

   Угол между касательными равен разности их углов наклона:

   $$\tan \varphi=\left|\frac{m_1-m_2}{1+m_1m_2}\right| = \left|\frac{\frac{1}{\sqrt{3}}- \left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)}{1+\frac{1}{\sqrt{3}}\cdot\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)}\right| = \frac{2/\sqrt{3}}{1-\frac{1}{3}} = \frac{2/\sqrt{3}}{2/3} = \sqrt{3}$$

   Значит,
   $$\varphi=\frac{\pi}{3}.$$

2. Для графиков $$y=\sqrt{2x+1}$$ и $$y=1$$ найдём точку пересечения:

   $$\sqrt{2x+1}=1$$
   $$2x+1=1$$
   $$2x=0,\quad x=0$$

   Область определения: $$2x+1>0$$, то есть $$x>-\frac12$$. Точка $$x=0$$ подходит.

   Найдём производные:

   $$y_1’=\left(\sqrt{2x+1}\right)’=\frac{1}{\sqrt{2x+1}},\qquad y_2’=(1)’=0$$

   В точке $$x=0$$:

   $$y_1′(0)=1,\qquad y_2′(0)=0$$

   Тогда

   $$\tan \varphi=\left|\frac{1-0}{1+1\cdot 0}\right|=1$$
   $$\varphi=\frac{\pi}{4}$$

Ответ

1) $$\frac{\pi}{3}$$; 2) $$\frac{\pi}{4}$$.