Упр.258 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Задача

1) f(x) = ах7 + x3 — 1;
2) f(х) = х5 + ах3 + 3;
3) f(x) = (х + a) корень x;
4) а(х)= x + a/x.

Подробный ответ

$$f(x)=ax^7+x^3-1$$
$$f'(x)=7ax^6+3x^2=x^2(7ax^4+3)$$
Чтобы неравенство $$f'(x)<0$$ не имело действительных решений, нужно, чтобы производная была неотрицательна при всех $$x$$.
Так как $$x^2\ge 0$$, то знак выражения определяется множителем $$7ax^4+3$$. Для всех $$x$$ это возможно только при $$a\ge 0$$.
Следовательно, $$a\in[0;+\infty)$$.
$$f(x)=x^5+ax^3+3$$
$$f'(x)=5x^4+3ax^2=x^2(5x^2+3a)$$
Чтобы $$f'(x)<0$$ не имело решений, нужно, чтобы $$f'(x)\ge 0$$ при всех $$x$$.
Так как $$x^2\ge 0$$, необходимо и достаточно, чтобы $$5x^2+3a\ge 0$$ при всех $$x$$, то есть $$a\ge 0$$.
Следовательно, $$a\in[0;+\infty)$$.
$$f(x)=(x+a)\sqrt{x}, \quad x\ge 0$$
$$f'(x)=\sqrt{x}+(x+a)\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}=\frac{3x+a}{2\sqrt{x}}$$
При $$x>0$$ знаменатель положителен, поэтому для отсутствия решений неравенства $$f'(x)<0$$ нужно, чтобы
$$3x+a\ge 0$$ при всех $$x>0$$.
Это возможно только при $$a\ge 0$$.
Следовательно, $$a\in[0;+\infty)$$.
$$f(x)=x+\frac{a}{x}, \quad x\ne 0$$
$$f'(x)=1-\frac{a}{x^2}=\frac{x^2-a}{x^2}$$
Чтобы неравенство $$f'(x)<0$$ не имело действительных решений, нужно, чтобы
$$x^2-a\ge 0$$ при всех $$x\ne 0$$.
Так как $$x^2$$ может быть сколь угодно малым положительным числом, это возможно только при $$a\le 0$$.
Следовательно, $$a\in(-\infty;0]$$.